[투자 기초 9] 수익률 100%와 -50%는 왜 대칭일까? - 손익비대칭성, 항등원, 역원 (+동영상, +슬라이드)

복리 투자에서 수익률 100%와 -50%는 서로 대칭입니다. 자산이 두 배로 늘어난 후 절반으로 줄어들면 본래 규모의 자산이 되기 때문입니다. 초기 자산의 규모를 1로 두면, 수식으로 1 × (1 + 100%) × (1 - 50%) = 1 × 2 × 0.5 = 1로 표현할 수 있습니다. 이해가 될 듯하면서도 조금 아리송합니다.

손익비대칭으로 느끼는 이유

사람들은 곱하기 보다 더하기에 익숙합니다. 100%와 -50% 수익률이 주어지면, 무의식적으로 더하기를 합니다. 100% + (- 50%) = 50%이니, 100% 수익률과 -50% 수익률이 대칭으로 보이지 않는 것입니다. 10% 수익률과 20% 수익률이 주어져도 마찬가지입니다. 총수익률을 10% + 20% = 30%로 생각하는 것입니다.

수학적으로 해석해 보면 꽤 재미있습니다. 투자 방식에 따라 대칭 구조는 달라질 수 있습니다. 곱하기는 이전 투자 결과를 기반으로 재투자하는 복리 투자에 해당됩니다. 연산에서 본래 값이 나오는 수치를 항등원(identity element)라고 합니다. 수익률이 a라고 하면 곱하기에 대해서는 (1 + a) × 1 = (1 + a)로 표현됩니다. 따라서 1은 곱하기 연산에 대한 항등원입니다.

연산(여기서는 곱하기)에 대해 항등원이 나오는 결과를 역원(inverse element)이라 합니다. (1 + a) × (1 + x) = 1이 되는 수익률 x를 구해보면 x = 1 / (1 + a) - 1이 됩니다. a = 100%로 두면, x = 1 / (1 + 100%) - 1 = 1 / 2 - 1 = -50%가 됩니다. 곱하기에 대해서 100%와 -50%는 서로 역원 관계에 있기에, 복리 투자에서 100%와 -50% 수익률은 대칭이 되는 것입니다.

투자자가 복리 투자가 아니라 단리 투자를 하면 어떻게 될까요? 단리 투자는 더하기 연산입니다. a + 0 = a가 되니, 0이 더하기에 대한 항등원입니다. 수익률 a에 대한 역원은 a + x = 0을 풀면 구할 수 있습니다. x = -a입니다. 따라서 단리 투자에서 50% 수익률과 -50% 수익률은 서로 대칭 관계에 있습니다.

이제 손익비대칭성이 무엇인지 이해할 수 있습니다. 복리 투자에 대해 역원 관계에 있는 수익률 짝을 단리 투자를 가정하여 대칭을 상상하기 때문에 생기는 착시가 손익비대칭성입니다.

손익 비대칭성이 무엇인지 영상으로 자세하게 해설합니다.

[기초 9] 수익률 100%와 -50%는 왜 대칭일까? - 손익비대칭성, 복리 투자, 항등원, 역원 - https://youtu.be/JZ4Y4S-Hv0U

슬라이드

[재생 목록] 투자의 기초 - 투자 특히 주식 투자를 중심으로 투자자가 알아야 하는 기본 사항을 연재합니다. https://www.youtube.com/playlist?list=PLj7eAFTfVFfnHum41lbUJzuYj3Y-Te-aV

투자의 기초를 영상으로 하나씩 재미있고 쉽게 설명합니다. 재생 목록에서 순서대로 또는 관심 있는 주제를 골라 시청하기를 권합니다.

투자의 기초

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