[중급 37] 로그 스케일 그래프는 어떻게 해석할 수 있을까? (투자 기간의 변화로 이해해 보자)

지난 몇 편의 글을 통해 로그(log; logarithm; 로가리듬)는 자산비를 투자 기간으로 변환하는 함수이며, 로그 수익률(log return) 역시 수익률이 아니라 투자 기간인 이유를 설명했습니다. 로그 수익률은 투자 기간이지만, 0% 주변 좁은 범위에서 수익률과 비슷하기에 수익률로 간주해도 큰 무리가 없습니다. 또한 로그의 특성에 의해 자산비의 곱셈을 로그 수익률의 덧셈으로 처리할 수 있고, 현실에서 발생할 수 없는 -100% 이하 수익률도 자연스럽게 제외되기에 실용적입니다.

• [중급 34] 로그와 로그 스케일 (투자 분석에서 로그의 의미와 로그를 사용하는 이유)
• [중급 35] 로그 정규 분포 (투자에서 로그 정규 분포가 필요한 이유)
• [중급 36] 로그 수익률(log return)의 본질은 무엇일까? (수익률이 아니지만 수익률로 간주할 수 있는 이유는 무엇일까?)

이 글에서는 로그 스케일 또는 로그 수익률을 그래프에서 어떻게 해석할 수 있는지 살펴봅니다.

주의: 이 글은 특정 상품 또는 특정 전략에 대한 추천의 의도가 없습니다. 이 글에서 제시하는 수치는 과거에 그랬다는 기록이지, 앞으로도 그럴 거라는 예상이 아닙니다. 분석 대상, 기간, 방법에 따라 전혀 다른 결과가 나올 수 있습니다. 데이터 수집, 가공, 해석 단계에서 의도하지 않은 오류가 있을 수 있습니다. 일부 설명은 편의상 현재형으로 기술하지만, 데이터 분석에 대한 설명은 모두 과거형으로 이해해야 합니다.

로그 스케일로 그린 누적 수익률 그래프

다음은 SPY의 누적 자산비(누적 수익률)를 선형 스케일(linear scale)로 그린 그래프입니다. 참고: SPY 상장 후 수익률이라는 의미로 누적 수익률이라는 용어를 사용하지만, 일반적으로 인식하는 수익률로 생각하면 됩니다.

SPY의 누적 자산(수익률) 그래프 (선형 스케일)

y축 눈금값에 두 가지 수치가 표시되어 있습니다. 처음에 나오는 숫자는 누적 자산비이고, 괄호 안에 있는 퍼센트 숫자는 누적 수익률입니다. 수익률 = 자산비 - 1의 관계에 있기에, 누적 자산비 1은 0% 수익률, 누적 자산비 6은 500% 수익률로 표시되어 있습니다.

동일한 그래프를 로그 스케일(log scale)로 그리면 다음과 같습니다.

SPY의 누적 자산비(수익률, 로그 수익률) 그래프 (로그 스케일)

자산 가격이 복리로 증가하는 효과가 선형으로 변환되어 나타납니다. 괄호 안에 있는 첫 번째 퍼센트 수치는 누적 수익률이고, 두 번째 퍼센트 수치는 누적 로그 수익률입니다. 수익률이 커지면 수익률과 로그 수익률 차이도 커지게 됩니다. 로그 수익률은 투자 기간이기에 복리에 대해 선형으로 증가하는 값이기 때문입니다.

누적 자산비(수익률) 그래프를 그릴 때 y축 눈금값으로 자산비 또는 수익률을 나타내는 것이 일반적입니다. 이 그래프에는 자산비와 수익률을 이해하기 쉬운 수치로 표시했지만, 눈금 간격은 복리로 증가하는 자산의 특성과 잘 어울리지 않습니다. 눈금이 등간격으로 나타나도록 2배씩 단위 자산비로 그려봅니다.

SPY의 누적 자산비(수익률, 로그 수익률) 그래프 (로그 스케일, 자산비 간격 2배)

자산비가 눈금 하나당 2배씩 증가하고 있습니다. 세로 눈금 하나는 위로는 2배, 아래로는 1 / 2배 자산비가 됩니다. 괄호 안의 두 번째 퍼센트 수치인 로그 수익률은 대략 68% ~ 69%씩 선형으로 증가하고 있습니다. 로그 수익률은 투자 기간을 의미하기 때문입니다. 로그 수익률은 기본으로 자연대수 e를 단위로 계산합니다. e⁰˙⁶⁹ ≒ 2입니다. 자산비 배율과 동일합니다.

투자 기간으로 환산한 로그 스케일 그래프

세로축으로 로그 스케일로 그릴 때 사용하는 로그의 밑수에 바뀌어도 그래프 형태가 변하지 않습니다. 상하로 늘리는 정도만 달라질 뿐입니다. 그래프를 4 : 3과 같은 동일한 종횡비로 그리면 세로축의 선형 변형이 사라져서 로그 밑수에 관계없이 동일한 형태가 됩니다. e 대신 사용하는 밑수에 따라 로그 수익률 눈금값만 달라지게 됩니다.

로그 밑수를 바꾸어 보겠습니다. 예를 들어 1년 기준으로 10% 수익률을 벤치마크로 삼는다면 로그의 밑수로 1.1을 사용하면 됩니다. 각자 본인에게 익숙한 길이 단위인 cm 또는 인치(inch) 중에서 선택하거나, 표현하고자 하는 데이터의 전반적인 크기에 따라 미터(m)와 밀리미터(mm) 중에서 고르는 것과 같습니다.

SPY의 누적 자산비(수익률, 로그 수익률 1.1) 그래프 (로그 스케일, 자산비 간격 2배)

로그 수익률은 수익률이 아니라 투자 기간이기에 퍼센트 기호를 빼고 표시했습니다. 세로축 눈금 한 칸은 약 7.3인데 1.1 - 1 = 0.1 = 10% 복리 수익률 기준으로 약 7.3년에 해당된다는 의미입니다.

다른 세로축 눈금을 지우고, 로그 눈금만 남겨 보겠습니다. 이해하기 쉽도로 눈금 간격을 5로 조정했습니다.

CAGR 10% 자산 대비 SPY 자산비(수익률)의 투자 기간

세로축은 연 복리 수익률 10% 즉 CAGR 10% 대비 투자 기간이 됩니다. 세로축 최대 눈금이 35보다 조금 작습니다. 전체 기간에 대한 SPY의 투자 성과는 CAGR 10%인 자산에 약 34년간 투자한 결과와 비슷합니다.

오렌지색으로 표시된 1996년 ~ 1999년의 4년간 투자를 보겠습니다. 가로축으로는 4년입니다. 세로축은 5년 단위인 눈금 2칸 즉 10년 정도입니다. 이 4년의 기간 동안 SPY는 CAGR 10% 투자 자산의 10년치 투자 성과를 얻었다는 의미입니다.

중간쯤에 있는 2008년 한 해에 해당하는 초록색 선이 있습니다. 세계금융 위기가 발생했던 기간입니다. 1년간 SPY는 1칸 즉 5년 하락했습니다. 연평균 1 / (1 + 10%) - 1 ≒ -9.1%의 5년치 투자 성과가 발생한 것입니다. 다르게 말하면 CAGR 10%인 자산 기준으로 투자가 5년 후퇴한 것입니다.

정리하며

로그 스케일로 그래프를 그린다는 것이 어떤 의미이며, 어떻게 해석할 수 있는지 살펴보았습니다. 자산비 또는 수익률을 로그 스케일로 변환하면, 밑수를 기준으로 하는 상대 투자 기간으로 변환됩니다. 예를 들어 밑수를 2로 두면, 자산이 2배로 불어나는 기간을 1 단위 기간으로 하는 투자 기간이 되는 것입니다.

로그 스케일이 이러한 특성을 가졌다고 해서 투자 기간으로 눈금값을 적을 필요는 없습니다. 시각화하는 이유는 이해와 분석에 용이하게 데이터를 표현하기 위해서이기 때문입니다. 누적 수익률 그래프를 로그 스케일로 나타낸다면, 눈금값은 누적 수익률이 적절할 것입니다. 애초에 누적 수익률을 복리 효과를 고려해서 살펴보려고 로그 스케일로 그래프를 그린 것이기 때문입니다. 시각화 목적에 맞는 눈금값을 사용하면 됩니다.

참고 도서:

• 왜 위험한 주식에 투자하라는 걸까 - 장기 투자와 분산 투자에 대한 통계학적 시각
• 파이썬으로 그려보는 투자 포트폴리오 분석 - 정량적 투자 분석을 위한 입문서

이어지는 글: [중급 38] 로그 수익률로 보는 평균-분산 그래프의 해석 (어떤 스케일로 그래프를 그려야 할까?)

목차: [연재글 목차] 투자 성과 분석 (기초편, 초급편, 중급편): 순서대로 차근차근 읽으면 좀 더 이해가 쉽습니다.

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