[중급 41] 수익률이 로그 정규 분포를 따르는 두 자산에 분산 투자하면 어떻게 될까? (완전 독립 관계인 경우)

지난 글에서 수익률이 로그 정규 분포를 따르는 두 자산에 분산 투자하면 포트폴리오의 복리 수익률이 어떻게 되는지 상관성이 +1인 경우와 -1인 경우로 살펴보았습니다. 선형 수익률의 산술 평균과 표준 편차로 그린 평균-분산 그래프의 경우와는 달리 포트폴리오 궤적은 직선이 아닌 미세하게 위로 볼록한 곡선으로 나타났습니다. 지난 글: [중급 40] 수익률이 로그 정규 분포를 따르는 두 자산에 분산 투자하면 어떻게 될까? (완전 선형 관계인 경우)

이 현상은 수익률이 로그 정규 분포를 따르기 때문이기도 하지만, 기하 평균의 특성이기도 합니다. 두 가지가 함께 영향을 미칩니다. 이에 대해서는 이어지는 글에서 좀 더 자세히 다뤄 보겠습니다.

이 글에서는 두 자산의 수익률이 로그 정규 분포를 따르면서 완전 독립인 경우 로그 수익률(복리 수익률)로 볼 때 평균-분산 그래프에 어떻게 나타나는지 살펴봅니다. 참고: 로그 수익률과 복리 수익률은 단위와 스케일링이 다를 뿐 같은 개념입니다. 로그 수익률은 투자 기간이고, 복리 수익률은 수익률입니다.

주의: 이 글은 특정 상품 또는 특정 전략에 대한 추천의 의도가 없습니다. 이 글에서 제시하는 수치는 과거에 그랬다는 기록이지, 앞으로도 그럴 거라는 예상이 아닙니다. 분석 대상, 기간, 방법에 따라 전혀 다른 결과가 나올 수 있습니다. 데이터 수집, 가공, 해석 단계에서 의도하지 않은 오류가 있을 수 있습니다. 일부 설명은 편의상 현재형으로 기술하지만, 데이터 분석에 대한 설명은 모두 과거형으로 이해해야 합니다.

수익률이 독립인 두 자산에 분산 투자하는 경우

다음은 로그 수익률이 N(10%, 20%²)을 따르는 자산 A와 N(5%, 10%²)를 따르는 자산 B가 서로 독립인 수익률 분포를 가질 때의 분산 투자 효과를 나타낸 평균-분산 그래프입니다.

하나의 눈금에 대해 눈금값이 여럿 표기되어 있습니다. 큰 글자로 표시된 눈금값은 로그 수익률입니다. 세로축은 로그 수익률의 산술 평균이고, 가로축은 로그 수익률의 표준 편차입니다.

로그 수익률은 로그 특성을 가지고 있기에 더하기 연산은 자산비를 곱하는 복리 투자 효과로 계산됩니다. 마찬가지로 산술 평균을 취하면 자산비의 기하 평균 즉 복리 수익률 개념에 해당하는 수치가 나옵니다. 로그 수익률은 투자 기간이기에 이를 투자자가 이해하기 쉬운 복리 수익률로 환산한 값이 작은 눈금값입니다. 목적에 따라 적절한 눈금값을 사용하면 됩니다. 눈금값 변환에 대해서는 [중급 39] 복리 수익률로 보는 평균-분산 그래프의 해석 (표준 편차에 대한 비대칭 해석)을 참고하기 바랍니다.

익히 알고 있는 선형 수익률의 산술 평균과 표준 편차를 이용한 평균-분산 그래프와 형태로는 별 차이가 없어 보입니다. 두 자산을 적절히 혼합하면 개별 자산의 표준 편차보다 변동성이 더 낮은 포트폴리오도 나올 수 있지만, 복리 수익률은 혼합 비중에 따라 항상 두 자산 사이에 위치하는 것처럼 보입니다.

자산 B의 평균 수익률을 조금 더 높여 보겠습니다. 자산 B의 로그 수익률이 N(5%, 10%²) 대신 N(9%, 20%²)를 따른다고 하겠습니다. 복리 수익률(CAGR로 봐도 무방합니다)로 환산하면, 자산 A는 약 10.5%, 자산 B는 약 9.4%입니다. 로그 수익률의 표준 편차는 동일하기에, 변동성은 같습니다. 자산 B는 자산 A보다 평균 수익률이 조금 더 낮으면서 변동성은 동일한 자산입니다.

다음은 이 두 자산의 수익률이 서로 독립일 때 분산 투자하는 포트폴리오를 그려 본 평균-분산 그래프입니다.

로그 수익률이 N(9%, 20%²)와 N(10%, 20%²)로 서로 독립인 두 자산의 혼합 결과

선형 수익률을 이용한 평균-분산 발생할 수 없는 수익률 상승효과가 발생했습니다. 자산 A의 복리 수익률은 약 10.5%, 자산 B의 복리 수익률은 9.4%인데, 적절히 분산 투자하면 11.1% 정도의 복리 수익률을 얻을 수 있습니다.

복리 수익률만 증가한 것이 아닙니다. 표준 편차도 [22.1%, -18.1%]에서 약 [15%, -13.5%] 정도로 줄었습니다. 다르게 말하면, 투자하는 자산 간의 관계에 따라서는 분산 투자로 변동성만 줄일 수 있는 것이 아니라, 수익률도 높일 수 있다는 뜻입니다.

선형 수익률을 이용한 평균-분산 분석이 잘못되었다는 의미는 아닙니다. 포트폴리오 선형 수익률의 산술 평균은 여전히 두 자산의 평균 선형 수익률 사이에 위치합니다. 변동성이 줄면서 산술 평균 수익률 대비 복리 수익률이 증가하는(엄밀하게는 덜 하락하는) 현상이 발생한 것입니다.

이 현상을 확인하기 위해 선형 수익률의 산술 평균과 표준 편차로도 포트폴리오의 위치를 표시해 봅니다.

로그(복리) 수익률 또는 선형 수익률로 표시한 두 자산의 혼합 포트폴리오

오렌지색으로 그려진 포트폴리오 궤적이 선형 수익률의 산술 평균과 표준 편차로 분석한 결과입니다. 두 자산의 수익률이 정규 분포를 따른다고 가정한 경우입니다. 자산의 혼합 비중에 따라 표준 편차가 줄어들기는 하지만, 평균 수익률은 항상 자산 A와 B의 투자 비중에 따라 가중 평균으로 결정됩니다.

비교의 편의를 위해 두 포트폴리오 모두 로그 수익률의 표준 편차를 사용했습니다. 파란색 포트폴리오를 오렌지색 포트폴리오와 비교하면, 표준 편차가 줄어들 때 로그 수익률(복리 수익률)이 증가하는 현상을 확인할 수 있습니다.

현실에서는 어떻까?

현실에서도 이러한 현상이 발생할까요? 다음은 S&P 500 지수를 추종하는 SPY와 금 현물 ETF인 GLD를 1 : 1 비중이 되도록 매일 리밸런싱(rebalancing)하는 투자 결과입니다. 세금 및 수수료 등 부가 비용은 고려하지 않았습니다.

SPY, GLD, SPY + GLD의 누적 수익률

SPY와 GLD에 반반씩 투자하면서 매일 리밸런싱을 하는 초록색 선은 항상 SPY와 GLD 사이에 있지 않습니다. 대략 2016년부터 두 자산 중에 누적 수익률이 높은 자산에 가깝거나 더 위에 있습니다. 2016년부터의 기간을 확대해 보면 다음과 같습니다.

SPY, GLD, SPY + GLD의 누적 수익률 (2016년부터)

분석 기간에 한정했을 때, SPY와 GLD의 최종 누적 수익률은 비슷했지만, 1 : 1 포트폴리오의 누적 수익률은 두 자산보다 높았습니다.

투자자는 두 자산에 분산 투자하여 조금이라도 더 높은 수익률을 얻을 수 있다면 투자에 신중하게 고려할 수 있습니다. 하지만, 변동성 감소로 발생하는 기하 평균의 상승효과는 선형 수익률의 산술 평균으로 그린 평균-분산 그래프에서는 발견할 수 없습니다. 평균-분산 그래프를 그려 확인해 보겠습니다.

두 궤적 끝점 중에서 상단 끝점이 SPY이고, 하단 끝점이 GLD입니다.

오렌지색으로 그려진 포트폴리오 궤적이 선형 수익률의 산술 평균을 이용한 포트폴리오의 궤적입니다. y축 큰 눈금값을 산술 평균 수익률로 읽고, x축 큰 눈금값을 표준 편차로 보면 됩니다.

파란색 포트폴리오 궤적은 로그 수익률로 그린 포트폴리오입니다. 큰 눈금으로 읽을 때에는 로그 수익률의 산술 평균과 표준 편차로 이해하면 되고, 작은 눈금으로 읽을 때에는 복리 수익률과 1 표준 편차에 해당하는 변동 범위로 읽으면 됩니다.

로그 수익률로 그린 포트폴리오 궤적을 보면, 앞서 SPY + GLD에 1 : 1로 투자한 포트폴리오에 나타날 수 있는 효과가 표시되어 있습니다. 변동성이 낮아지면서 SPY와 GLD 각각보다 복리 수익률이 더 높은 포트폴리오 구성이 가능하다고 나와 있습니다.

이 사례를 포함하여 많은 경우 분산 투자로 얻는 복리 수익률 증가량은 그다지 크지 않습니다. SPY의 복리 수익률은 10.39%였는데, SPY에 68%, GLD에 32% 비중으로 투자한 포트폴리오의 복리 수익률은 10.67%로 (1 + 10.67%) / (1 + 10.39%) - 1 ≒ 0.26% 증가하였습니다.

중요한 것은 비슷하거나 살짝 더 높은 복리 수익률이지만, 더 낮은 변동성으로 얻을 수 있었다는 점입니다. 로그 수익률(또는 복리 수익률)로 그린 평균-분산 그래프는 이 현상을 보다 정확하게 보여줄 수 있습니다.

정리하며

두 자산의 수익률이 로그 정규 분포를 따르고 서로 독립일 때 나타나는 분산 투자 효과를 살펴보았습니다. 선형 수익률로 그린 평균-분산 그래프에는 변동성 감소 효과는 확연히 드러나지만, 복리 수익률 증가 현상은 관찰할 수 없습니다. 이에 비해 로그 수익률로 그린 평균-분산 그래프에서는 장기 수익률 증가 현상이 제대로 표현됩니다. 장기 분산 투자를 하는 투자라에게는 로그 수익률로 그린 평균-분산 그래프가 보다 정확하고 많은 정보를 제공할 수 있습니다.

참고 도서:

• 왜 위험한 주식에 투자하라는 걸까 - 장기 투자와 분산 투자에 대한 통계학적 시각
• 파이썬으로 그려보는 투자 포트폴리오 분석 - 정량적 투자 분석을 위한 입문서

이어지는 글: [중급 42] 세 가지 자산에 분산 투자한 포트폴리오를 복리 수익률로 평균-분산 그래프에 나타내어 살펴보자

목차: [연재글 목차] 투자 성과 분석 (기초편, 초급편, 중급편): 순서대로 차근차근 읽으면 좀 더 이해가 쉽습니다.

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