투자와 관련한 각종 수식 정리

투자와 관련한 각종 수식을 정리합니다. 한 번씩 생각이 날 때마다 업데이트합니다.

용어 및 변수

• 수익률: r
  • 예: 10%
• 자산비: 1 + r
  • 예: 1 + 10% = 1.1
• 누적 수익률: s
  • 예: 100%
• 누적 자산비: 1 + s
  • 예: 1 + 100% = 2.0
• 투자 기간: k
  • 예: 5년
• 투자 비중: a
  • 예: 70%
• 평균(뮤; mu): μ
  • 예: 10% (0.1이라고 쓰는 것이 보다 일반적인 형식입니다.)
  • 수익률 r은 고정인 경우, μ는 수익률 확률 분포인 경우 사용합니다.
• 표준 편차(시그마; sigma): σ
  • 예: 20% (0.2라고 쓰는 것이 보다 일반적인 형식입니다.)
  • 표준 편차는 아래 분산의 양의 제곱근입니다.
• 분산(variance): σ²
  • 예: 20%² (0.2² 또는 0.04라고 쓰는 것이 보다 일반적인 형식입니다.)

수익률

k년 투자 시 수익률

• 단리 투자 수익률: k × r = kr
  • 예: 연 10% 수익률로 5년 투자: 10% × 5년 = 50%
• 단리 투자 자산비: 1 + kr
  • 예: 연 10% 수익률로 5년 투자: 1 + 10% × 5년 = 1 + 50% = 1.5
• 복리 투자 자산비: (1 + r)ᵏ
  • 예: 연 10% 수익률로 5년 투자: (1 + 10%)⁵ = 1.1⁵ ≒ 1.61
• 복리 투자 수익률: (1 + r)ᵏ - 1
  • 예: 연 10% 수익률로 5년 투자: (1 + 10%)⁵ - 1 = 1.1⁵ - 1 ≒ 61%

투자 수익률 변환

• CAGR(Compound Annual Growth Rate; 연평균 성장률): (1 + s)¹ᐟᵏ - 1
  • 예: 5년 투자로 50% 누적 수익률: (1 + 50%)¹ᐟ⁵ - 1 = 1.5¹ᐟ⁵ - 1 = ⁵√1.5 - 1 ≒ 1.084 - 1 = 0.084 = 8.4%
  • 스프레드시트 또는 구글 검색에서 1.5^(1/5) - 1를 입력하면 됩니다.
• CAGR을 복리 자산비로 환산: 1 + CAGR
  • 예: CAGR이 8.4%인 경우: 1 + 8.4% = 1.084
• CAGR을 월평균 성장률로 변환: (1 + CAGR)¹ᐟ¹² - 1
  • 예: CAGR 8.4%를 월평균 성장률로 변환: (1 + 8.4%)¹ᐟ¹² - 1 ≒ 1.0067 - 1 = 0.0067 = 0.67%
• 월평균 성장률을 CAGR로 변환: (1 + r)¹² - 1
  • 예: 월평균 성장률 1%를 CAGR로 변환: (1 + 1%)¹² - 1= 1.01¹² - 1 ≒ 1.127 - 1 = 0.127 = 12.7%

분산 투자

• 두 자산에 반반씩 투자한 경우 (1회): (r₁ + r₂) / 2 = 0.5 × r₁ + 0.5 × r₂
  • 예: 10% 수익률 자산 A와 4% 수익률 자산 B에 반반씩 투자한 경우: (10% + 4%) / 2 = 14% / 2 = 7%
• 두 자산에 각각 a와 (1 - a) 비중으로 투자한 경우 (1회): a × r₁ + (1 - a) × r₂
  • 예: 10% 수익률 자산 A에 60%, 4% 수익률 자산 B에 40% 투자한 경우: 0.6 × 10% + 0.4 × 4% = 6% + 1.6% = 7.6%

수익률 분포 (정규 분포 가정)

아래 수식은 모두 수익률 분포가 정규 분포를 따른다는 가정하에서 성립합니다.

1년 투자 시 수익률

• 수익률 분포: N(μ, σ²)

k년 투자 시 수익률 (매년 수익률이 서로 독립인 경우)

• 단리 수익률 분포: N₁(μ, σ²) + N₂(μ, σ²) + ... + Nₖ(μ, σ²) = N(kμ, kσ²)
  • 예: 1년 평균 수익률이 10%이고, 표준 편차가 20%인 자산을 5년간 단리로 투자했을 때: N₁(10%, 20%²) + ... + N₅(10%, 20%²) = N(50%, 5 × 20%²) = N(50%, 5 × 4%) = N(50%, 20%) ≒ N(50%, 45%²)
  • 평균이 50%이고 표준 편차가 45%인 정규 분포가 됩니다.
• 복리 수익률 분포: 정규 분포 대신 로그 정규 분포로 모델링해야 합니다. (일단 생략하지만, 차후 추가될 수 있습니다)

분산 투자 (상관성이 1인 경우)

• 단리 수익률 분포 (절반씩 투자 시): 0.5 × N₁(μ, σ²) + 0.5 × N₂(μ, σ²) = N₁(μ, σ²) = N₂(μ, σ²) = N(μ, σ²)
  • 예: 1년 평균 수익률이 10%, 표준 편차가 20%이며 서로 수익률이 완전히 일치하는 두 자산에 투자했을 때: 0.5 × N₁(10%, 20%²) + 0.5 × N₂(10%, 20%² ) = N(10%, 20%²)
  • 분산 투자 효과가 없음
• 단리 수익률 분포 (N₁에 비중 a로 투자 시): N(μ, σ²)
  • 분산 투자 효과가 없기 때문.

분산 투자 (상관성이 -1인 경우)

분산 투자 (서로 독립인 경우)