[중급 22] 투자 정보의 가치는 얼마일까? (누군가 내일의 주가 수익률을 알려준다면 초모험씨는 얼마까지 지불할 수 있을까?)

클로드 엘우드 섀넌(Claude Elwood Shannon)의 도깨비 이야기가 나온 김에 섀넌의 업적 중 하나인 정보 이론과 관련하여 투자에서 정보의 가치란 무엇인지 생각해 봅니다. 섀넌의 이야기와는 다를 수 있습니다.

참고: 이 글에서 소개하는 예는 정보의 가치를 설명하기 위한 가상의 사례일 뿐입니다.

주의: 이 글은 특정 상품 또는 특정 전략에 대한 추천의 의도가 없습니다. 이 글에서 제시하는 수치는 과거에 그랬다는 기록이지, 앞으로도 그럴 거라는 예상이 아닙니다. 분석 대상, 기간, 방법에 따라 전혀 다른 결과가 나올 수 있습니다. 데이터 수집, 가공, 해석 단계에서 의도하지 않은 오류가 있을 수 있습니다. 일부 설명은 편의상 현재형으로 기술하지만, 데이터 분석에 대한 설명은 모두 과거형으로 이해해야 합니다.

초고위험 상품에 투자하는 초모험씨

어떤 초고위험 투자 상품이 있습니다. 오늘 투자하면 절반의 확률로 내일 두 배로 상승하거나 원금을 모두 날린다고 하겠습니다. 100% 또는 -100% 수익률입니다. 수익률 분포로는 [-100%, 100%]입니다. 반반의 확률이기에 각각에 대한 × 50%를 생략한 표현입니다.

수익률 분포는 이미 알고 있습니다. 이 상품은 장기 투자할 수 있는 상품이 아닙니다. 장기 복리로 투자하면 언젠가는 -100% 수익률이 발생해서 모든 투자금을 날릴 것이기 때문입니다.

그렇다고, 단리로 장기 투자하는 것이 적절하지도 않습니다. 장기적으로 단리 수익률은 (-100% + 100%) / 2 = 0%로 수익이 발생하지 않기 때문입니다.

모험심이 강한 초모험씨는 왜 그런지는 모르겠지만, 이러한 초고위험 상품에 관심이 있습니다. 본인의 예지력을 믿기 때문일 수도 있고, 맞췄을 때의 흥분과 틀렸을 때의 좌절을 맛보기 위함일 수도 있습니다. 참고: 이러한 격한 감정을 느끼려는 욕구는 일종의 중독 현상일 수 있습니다. 주식 투자 입문자에게 지수 추종이나 자산 배분 투자를 권하는 이유 (주식 투자의 중독성)

매일 단리로 투자하는 초모험씨는 이런저런 방법으로 내일의 수익률을 예측해 보려고 시도했지만, 모두 실패했습니다. 어떤 방법을 써도 항상 장기적으로 0% 수익률 즉, 아무런 예측을 하지 않은 것과 같았습니다.

초모험씨와 예언자들

초모험씨는 조금이라도 승률을 높이기 위해 예언자를 찾아 나섰습니다. 귀신을 잘 쫓는다는 무당도 만나보고, 별의 움직임으로 미래를 예측한다는 점성술사의 의견도 들어보고, 세속을 떠나 멀리 깊은 산속에서 도를 닦는 도사의 유튜브 채널도 시청합니다.

참고: 그냥 가상의 사례일 뿐입니다. 등장인물에 대해 진지하게 받아들일 필요는 없습니다.

이 중에서 선무당씨는 사이비입니다. 복비를 받고 이런저런 근거를 대며 내일의 투자 수익률을 알려주지만, 사실 그냥 기분 내키는 대로 이야기합니다.

초모험씨가 선무당씨 조언대로 투자하면 투자 성과는 본인이 투자하는 것처럼 장기적으로 0%일 것입니다. 그렇다면 선무당씨가 제시하는 정보의 가치는 초모험씨에게 아무런 가치를 않는 0이라 볼 수 있습니다.

왜 선무당씨의 정보 가치는 0일까요? 내일의 수익률을 전혀 예상할 수 없는 초모험씨 입장에서 보면, 선무당씨의 정보를 받아들여도 추가 수익이 발생하지 않기 때문입니다. 초모험씨가 지금까지 스스로 판단하여 투자한 결과와 장기적으로 아무런 차이가 없습니다.

다음과 같은 수식으로 표현할 수 있습니다.

초모험씨의 판단에 따른 수익률 분포 [-100%, 100%] + 선무당씨의 정보 = [-100%, 100%]

수익률 분포에 변화가 발생하지 않으니, 선무당씨가 제시하는 조언의 정보 가치는 0이 됩니다. 참고: 엄밀하게는 초모험씨와 선무당씨의 매일매일의 예측은 다릅니다. 장기적인 수익률 분포가 동일한 것입니다.

점성술사인 복점성씨는 어떤 미지의 능력을 가지고 있는 듯합니다. 적어도 지금까지는 복점성씨 의견대로 투자하면 항상 맞았습니다. 초모험씨는 복점성씨가 내일의 수익률이 100%라고 예언하면 매수하고, -100%라고 말하면 공매도를 할 수 있습니다. 복점성씨의 조언을 따른다면 수익률 분포는 다음과 같이 바뀝니다.

[-100%, 100%] + 복점성씨의 정보 = [100%, 100%]

복점성씨 조언의 가치는 얼마일까요? 여러 가지 방법이 있겠지만, 투자이니 수익률로 생각해 보겠습니다. 초모험씨의 기대 수익률은 0%입니다. 복점성씨의 조언대로 투자하면 항상 100% 수익률을 얻습니다. 그렇다면 복점성씨의 조언의 가치는 100% - 0% = 100% = 1이라 볼 수 있습니다.

유튜브 채널을 운영하는 나도사씨는 맞추는 경우도 있고 틀리는 경우도 있습니다. 맞추는 경우가 조금 더 많습니다. 60% 확률로 맞춘다면, 하락 시 -100%는 [-100% × 40%, 100% × 60%]로 바뀝니다. 마찬가지로 상승 시 100%는 [-100% × 40%, 100% × 60%]가 됩니다.

수익률 분포는 다음과 같이 변합니다.

[-100%, 100%] + 나도사씨의 정보 = [-100% × 40%, 100% × 60%]

초모험씨의 수익률 분포 [-100%, 100%]의 기대 수익률은 0%입니다. [100%, 100%] 수익률 분포의 기대 수익률은 100%입니다. [-100% × 40%, 100% × 60%]의 기대 수익률은 얼마일까요? 산술 평균을 구하면 -100% × 40% + 100% × 60% = -40% + 60% = 20%입니다. 나도사씨 조언의 정보 가치는 0.2라 볼 수 있습니다.

정보의 가치는 동일한 정보라도 누구에게 주어지느냐에 따라 달라집니다. 기대 수익률이 0%인 초모험씨에게는 나도사씨의 정보가 가치 있지만, 복점성씨에게는 그렇지 않습니다. 나도사씨의 조언을 따르면 복점성씨의 수익률이 낮아지기 때문입니다. 이를 표로 나타내면 다음과 같습니다.

정보 사용자 \ 정보 제공자	초모험 = 선무당	복점성	나도사
수익률 분포	[-100%, 100%]	[100%, 100%]	[-100% × 40%, 100% × 60%]
기대 수익률	0%	100%	20%
초모험 = 선무당		100%	20%
복점성	-100%		-80%
나도사	-20%	80%

나도사씨에게 선무당씨의 조언은 -0.2(20%)의 가치를 가집니다. 이에 비해 복점성씨의 조언은 0.8(80%)의 가치를 가집니다. 선무당씨에게 나도사씨의 조언은 0.2(20%)의 가치를 가집니다. 복점성씨의 조언은 1.0(100%)의 가치를 가집니다.

정리하며

정보의 가치에 대해 생각해 보았습니다. 정보의 가치는 여러 방식으로 모델링할 수 있지만, 여기서는 해당 정보로 얻을 수 있는 이득으로 살펴보았습니다. 따라서 정보 획득 전후의 이득 변화를 알아야 정보 가치를 계산할 수 있습니다. 전후의 이득 차이를 수치로 바꾼 것이 정보 가치인 것입니다.

초모험씨의 배우자 안정성씨는 예금을 고집합니다. 어울리는 짝인 듯합니다. 안정성씨는 A 은행의 3% 예금을 고집하고 있습니다. 기존 예금이 만기가 되어 새로 예금을 들려고 하는데, 안정성씨의 친구 추가률씨가 B 은행에 4% 금리를 주는 예금 상품이 나왔다고 알려줍니다. 이 정보의 가치는 얼마일까요?

안정성씨가 1,000만원을 예금한다면 B 은행 예금으로 1년 이자가 30만원에서 40만원으로 늘어날 것입니다. 추가률씨의 정보는 안정성씨에게 40만원 - 30만원 = 10만원의 가치가 있습니다. 수익률로 보면 연 1% 가치가 있습니다.

만일 안정성씨는 항상 3년간 반복해서 예금에 든다면 어떻까요? 복리로 계산하면 만기 수익률은 (1 + 3%)³ - 1 ≒ 9.27%에서 (1 + 4%)³ - 1 ≒ 12.4%로 바뀝니다. 수익률 차이는 약 3.21%이기에, 32.1만원 정도의 가치를 가집니다.

안정성씨가 1억원을 예금하고 있다면 정보의 가치가 달라집니다. 1년 예금의 경우 300만원, 1년 × 3회 예금의 경우 321만원의 가치를 가지는 정보가 됩니다.

정보의 가치는 어떤 특정 수치로 일정하지 않습니다. 주관성이 있는 것입니다. 누구에게 주어진 정보인지, 그리고 그 정보를 어떻게 활용할 수 있는지에 따라 (여기서는 1년 예금인지, 아니면 3년 예금인지에 따라) 정보의 가치가 달라지기 때문입니다.

커버드콜에 투자하고 있는 투자자에게 기초자산에 투자하라는 조언의 정보 가치는 얼마일까요? 기초자산은 연 10%, 커버드콜은 연 9% 성장하고, 인플레이션은 연 3%라고 가정하면, 각각 7%와 6%의 실질 현금 흐름을 만들 수 있습니다. 3억원을 투자했다면 세금 미고려 시 현재 가치로 각각 2,100만원과 1,800만원의 현금 흐름이 생깁니다.

20년간 이렇게 현금 흐름을 만들다면 그 차이는 (2,100만원 - 1,800만원) × 20년 = 6,000만원입니다. 커버드콜에 3억원을 투자하고 있는 이 투자자에게 기초자산에 투자하는 것이 좋다는 정보의 가치는 6,000만원인 것입니다.

참고 도서:

• 왜 위험한 주식에 투자하라는 걸까 - 장기 투자와 분산 투자에 대한 통계학적 시각
• 파이썬으로 그려보는 투자 포트폴리오 분석 - 정량적 투자 분석을 위한 입문서

이어지는 글: [중급 23] 숨겨진 주사위는 몇 면일까? (모집단의 추정)

목차: [연재글 목차] 투자 성과 분석 (기초편, 초급편, 중급편): 순서대로 차근차근 읽으면 좀 더 이해가 쉽습니다.

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