투자 포트폴리오 최적화란 무엇일까? (원숭이는 바나나🍌가 몇 개나 필요할까?)

이전 글에서 갑돌이가 은퇴 자금을 마련하기 위해 투자 포트폴리오(portfolio)를 구성하는 사례를 살펴보았습니다. 목표로 하는 3억원 달성 가능성은 높이면서, 2억원 미만으로 금융 자산이 줄어드는 위험에 처할 가능성은 낮추기 위해, 상황에 맞춰 투자 포트폴리오를 구성하였습니다. 이에 대한 내용은 아래 글을 참고하기 바랍니다.

• 주식 수익률은 어떤 분포일까? (KODEX 200, SPY 환헤지/환노출, 그리고 정규분포, 갑돌이의 은퇴 자금 마련 #1)
• 변동성은 장기 투자에 어떤 영향을 미치는가? (갑돌이의 은퇴 자금 마련 #2)
• 자산 배분은 장기 투자에 어떤 영향을 미치는가? (투자 포트폴리오, 갑돌이의 은퇴 자금 마련 #3)

갑돌이는 포트폴리오 최적화(portfolio optimization)라는 작업을 수행한 것입니다. 목표와 위험 그리고 투자 가능한 자산에 대한 데이터를 기반으로 해당 시점에 적합할 것으로 예상되는 투자 포트폴리오를 도출한 것입니다.

이 글에서는 포트폴리오 최적화가 무엇인지 개략적으로 소개합니다.

주의: 이 글은 포트폴리오 최적화에 대한 개념적인 설명입니다. 합리적인 포트폴리오를 얻기 위해서는 과거와 미래에 대한 신뢰성 높은 데이터가 필요합니다. 포트폴리오 최적화는 이미 알고 있는 미래에 대한 전망을 수치적으로 가공하는 것입니다. 존재하지 않는 미래에 대한 전망을 만들어 주는 기술이 아닙니다. 내비게이션 시스템이 보유한 지도 데이터를 기반으로 최단 코스를 찾아주는 것과 유사합니다. 지도 데이터가 없는 지역에서는 내비게이션이 경로를 만들어 주지 못합니다. 

원숭이는 바나나가 몇 개나 필요할까?

원숭이가 한 마리가 있습니다. 원돌이라고 하겠습니다. 원숭이를 예로 든 이유는 생존과 관련하여 자원의 효용을 쉽게 설명하기 위함입니다. 인간과 돈으로 설명하면 사람마다 느끼는 돈의 효용 가치가 달라 이해하기 어려울 수 있기 때문입니다.

원돌이는 섬에 살고 있습니다. 원돌이가 사는 섬에는 매일 바나나가 열리는 신비한 바나나 나무(정확하게 풀의 일종)가 한 그루 있습니다.

원돌이는 세끼를 먹습니다. 원돌이가 건강한 삶을 유지하기 위해서는 한 끼에 바나나 1개씩 먹어야 합니다. 하루 세끼를 먹으니 바나나 3개가 하루 정량입니다.

바나나 나무에 매일 동일한 수의 바나나가 열린다고 하겠습니다. 원돌이의 행복은 어떻게 평가할 수 있을까요? 원돌이의 행복은 바나나 수에 달려 있다고 할 수 있습니다.

바나나가 많이 열릴수록 원돌이의 행복은 증가합니다. 바나나가 적게 열릴수록 원돌이의 행복은 감소합니다. 이를 수치화해서 점수화한다면 어떻게 나타내면 될까요? 행복 점수라고 하겠습니다.

바나나 3개가 정량이니, 3개가 열리면 행복하지도 불행하지도 않은 0점이라고 하겠습니다. 이보다 바나나가 많이 열리면, 행복 점수는 플러스가 됩니다. 이보다 바나나가 적게 열리면, 행복 점수는 마이너스가 됩니다.

바나나가 정량에서 1개 많은 4개가 열린다고 하겠습니다. 원돌이는 한 끼에 1개씩 먹고, 간식으로 하나 더 먹을 수 있습니다. 행복 점수가 1점이라고 하겠습니다.

바나나가 정량에서 1개 적은 2개가 열린다고 하겠습니다. 원돌이는 한 끼를 굶어야 합니다. 행복 점수는 -1점일까요? 원돌이는 매일 배가 조금 고플 것입니다. 조금 더 배 부른 행복 점수 1점과 상쇄되는 -1점이라 보기 어렵습니다.

바나나가 정량에서 2개 적은 1개만 열린다고 하겠습니다. 원돌이는 하루에 한 끼만 먹거나, 바나나 한 개를 쪼개서 조금씩 먹어야 합니다. 원돌이는 기아 상태가 될 것입니다. 행복 점수가 -2점일까요?

원돌이의 행복 점수는 바나나 수가 정량에서 감소하면 기하급수적으로 하락하게 됩니다. 반대로 바나나 수가 정량에서 증가하면 행복 점수도 늘어나지만, 그 증가폭은 점차 둔화됩니다.

이러한 특성을 가지는 함수의 하나가 로그(log)입니다. 아래는 바나나 수에 따른 원돌이의 행복 지수를 로그 함수로 그려본 것입니다.

매일 열리는 바나나 수가 달라지면 행복 점수는 어떻게 되나?

바나나 나무에 열리는 바나나 수가 매일 동일하지 않다고 하겠습니다. 평균 3개가 열리긴 하지만, 2개가 열리기도 하고, 5개가 열리기도 합니다. 원돌이의 행복 점수는 어떻게 계산하면 될까요?

매일 똑같이 3개씩 열리면 바나나의 평균 개수는 3개입니다. 앞에서 본 그래프처럼 원돌이의 행복 점수를 0점이라고 하겠습니다.

하루는 2개 다음날은 4개 이렇게 번갈아 열린다면, 평균은 여전히 3개입니다. 행복 점수도 동일하게 0점일까요?

바나나가 썩지 않고 장기 보관이 가능하다면, 원돌이의 행복 점수는 0점에 가까울 것입니다. 하지만, 당일 열린 바나나를 모두 먹지 않으면 버려야 한다면 이야기가 달라집니다. 어떤 날은 간식까지 챙길 수 있지만, 어떤 날은 한 끼를 굶어야 하기 때문입니다.

하루는 1개 다음날은 7개 이렇게 번갈아 열린다면, 평균은 4개입니다. 행복 점수는 1점일까요? 하루에 한 개만 먹어야 하는 날이 이틀에 한 번씩 발생하는데, 행복 점수가 플러스일 수 없습니다.

평균 바나나 수로 원돌이의 행복 점수를 계산하면 문제가 생깁니다. 발생 확률과 점수를 이용하여 종합 점수를 계산해야 합니다.

위의 그래프를 만든 로그 수식은 바나나 수에 따라 다음과 같은 행복 점수가 나옵니다.

바나나 수	행복 점수
1개	-3.8점
2개	-1.4점
3개	0점
4개	1점
5개	1.8점
6개	2.4점
7개	2.9점

각각 발생 확률이 50%라고 가정하고 확률을 고려하여 종합 점수를 계산하면 다음과 같습니다. 이 경우에는 각각의 발생확률이 반반이므로 행복 점수의 평균을 계산하는 것과 동일합니다.

바나나 수 분포	바나나 수	점수	바나나 수	점수	종합 점수
매일 3개 (평균 3개)	3개	0점	3개	0점	0점
2개 / 4개 (평균 3개)	2개	-1.4점	4개	1점	-0.2점
1개 / 7개 (평균 4개)	1개	-3.8점	7개	2.9점	-0.4점

평균 4개의 바나나가 열리는 1개 / 7개 분포는, 평균 3개가 열리는 매일 3개나, 2개 / 4개 분포보다 행복 점수가 낮습니다.

참고: 위의 결과는 이렇게 우열이 결정되도록 행복 점수를 계산하는 수식을 정의했기 때문입니다. 바나나가 아니고 돈이며 썩지 않는다면, 1개 / 7개 분포가 매일 3개보다 더 높은 점수가 되도록 정의할 수도 있습니다.

참고: 확률을 가중치로 사용한 산술 가중 평균은 종합 점수 계산 방식의 하나일 뿐입니다. 예를 들어 하위 90%에 위치한 행복 점수를 종합 점수로 사용할 수 있습니다. 이 경우 90% 이상의 확률로 이 이상의 행복 점수를 얻을 수 있다고 해석할 수 있습니다.

갑돌이의 행복 점수

갑돌이도 원돌이와 동일한 방식으로 행복 점수를 정의할 수 있습니다. 갑돌의 행복 점수는 다음과 같은 특성이 있습니다.

• 최종 자산이 많을수록 점수가 높다.
• 최종 자산이 3억원이면 0점이다.
• 최종 자산이 3억원 미만이면 마이너스다.
• 최종 자산이 2억원 미만이면 큰 마이너스다.
• 최종 자산이 1억원 미만이면 절대 안 된다.

원돌이의 행복 점수와 동일한 성질을 가지고 있습니다. 바나나 1개 대신 1억원이라는 돈을 사용하는 것만 차이가 있습니다.

아래는 갑돌이의 행복 점수를 그래프로 나타낸 하나의 예입니다. 최종 자산이 1억원 이하가 되면 최솟값(그래프에서는 -20이지만 실제로는 -∞)을 가집니다.

이러한 함수를 목적 함수(objective fucntion)이라고 합니다. 포트폴리오 최적화는 이 목적 함숫값이 최대화되는 자산의 비중을 찾아내는 것입니다.

원돌이는 매일 바나나가 열리는 개수의 분포를 이용하여 최종 점수를 산정했지만, 갑돌이의 경우에는 최종 자산의 분포가 최종 점수를 계산하는 사용됩니다.

정리하며

포트폴리오 최적화는 목표와 위험을 계량화하여 점수화한 목적 함수를 만들고, 투자 가능한 자산을 어떻게 배분하면 목적 함숫값이 최대화되는지 찾아내는 기술입니다.

많은 경우 포트폴리오에 사용하는 목적 함수는 비대칭입니다. 원돌이의 행복 점수와 같이 목표 이상을 달성할 때 얻는 이득보다, 목표 이하를 달성할 때 생기는 손실이 더 큰 형태입니다. 

미래는 항상 불확실하기에 포트폴리오의 성과는 확률 분포로 나오게 됩니다. 목적 함수는 이러한 확률 분포를 고려해서 최종 점수를 산정해야 합니다. 단순히 평균(기대) 성과를 이용하여 점수를 산정하면, 대개는 위험 자산에 100% 투자하는 포트폴리오가 도출되기 때문입니다. 

합리적인 포트폴리오를 얻기 위해서는 과거와 미래에 대한 신뢰성 높은 데이터가 필요합니다. 포트폴리오 최적화는 이미 알고 있는 미래에 대한 전망을 수치적으로 가공하는 것입니다. 존재하지 않는 미래에 대한 전망을 만들어 주는 기술이 아닙니다.

내비게이션 시스템이 지도 데이터를 기반으로 최단 코스를 찾아주는 것과 유사합니다. 잘못된 지도 데이터를 넣으면 엉뚱한 경로가 나오고, 지도 데이터가 없는 지역에서는 경로를 만들어 주지 못합니다.

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