[중급 16] 조건에 따라 수익률 분포는 어떻게 바뀔까? (제일야옹이즈와 삼삼뱀뱀즈의 우승 확률에 따른 수익률 분포의 변화)

지난 글에서 제일은행과 삼삼은행의 예금을 비교해 보았습니다. 3.5% 이자를 지급하는 제일은행 예금은 3.3% 이자를 지급하는 삼삼은행 예금에 대해 절대적 우위를 가지고 있었습니다. 제일은행 예금 수익률은 삼삼은행 예금 수익률 보다 항상 높았기에, 100% 확률적 우위라고 말할 수 있습니다. 절대적 우위는 100% 확률적 우위의 다른 표현입니다. 지난 글: [중급 15] 더 좋다는 것은 무슨 의미일까? (확률적 우위, 제일야옹이즈와 삼삼뱀뱀즈의 대결)

제일은행과 삼삼은행이 각각 제일야옹이즈와 삼삼뱀뱀즈가 결승전에서 우승하면 1.0% 가산 금리를 지급한다면, 절대적 우위는 확률적 우위가 되고, 상황에 따라 수익률 순위도 변할 수 있습니다.

이전 글에서는 야옹이즈와 뱀뱀즈의 우승 확률이 각각 절반으로 동일하다고 가정하고 살펴보았습니다. 우승 확률이 달라지면 어떻게 될까요?

주의: 이 글은 특정 상품 또는 특정 전략에 대한 추천의 의도가 없습니다. 이 글에서 제시하는 수치는 과거에 그랬다는 기록이지, 앞으로도 그럴 거라는 예상이 아닙니다. 분석 대상, 기간, 방법에 따라 전혀 다른 결과가 나올 수 있습니다. 데이터 수집, 가공, 해석 단계에서 의도하지 않은 오류가 있을 수 있습니다. 일부 설명은 편의상 현재형으로 기술하지만, 데이터 분석에 대한 설명은 모두 과거형으로 이해해야 합니다.

우승 확률에 따라 달라지는 우위

우승 확률에 따른 수익률 변화 사례를 살펴봅니다. 야옹이즈의 우승 확률을 p라고 하면, 뱀뱀즈의 우승 확률은 1 - p가 됩니다. p = 80%인 경우를 들어봅니다.

은행	제일야옹이즈 우승 (80%)	삼삼뱀뱀즈 우승 (20%)	기대 수익률
제일은행	4.5%	3.5%	4.3%
삼삼은행	3.3%	4.3%	3.5%

제일은행 예금의 기대 수익률은 야옹이즈 우승 확률 80% × 야옹이즈 우승 시 예금 이율 4.5% + 뱀뱀즈 우승 확률 20% × 뱀뱀즈 우승 시 예금 이율 3.5% = 4.3%입니다. 확률에 따른 가중 평균입니다. 동일한 방식으로 삼삼은행 예금의 기대 수익률은 3.5%입니다. 기대 수익률 차이는 4.3% - 3.5% = 0.8%p입니다.

제일은행 예금의 수익률 분포는 [3.5% × 20%, 4.5% × 80%]이며, 삼삼은행 예금의 수익률 분포는 [3.3% × 80%, 4.3% × 20%]입니다. 확률 분포로 그려보면 다음과 같습니다.

제일야옹이즈의 우승 확률이 50%, 80%일 때, 제일은행과 삼삼은행의 예금 수익률 및 차이의 확률 분포

왼쪽은 이전 글에서 살펴본 우승 확률이 반반인 경우이며, 오른쪽은 야옹이즈의 우승 확률이 80%인 경우입니다. 초록색 수익률 차이의 분포를 보면, 가질 수 있는 값은 -0.8%와 1.2%로 동일하지만, 확률 분포는 [50%, 50%]에서 [20%, 80%]로 바뀌었습니다. 기대 수익률의 차이도 0.2%에서 0.8%로 높아졌습니다. 다르게 말하면, 제일은행 예금의 확률적 우위가 좀 더 확고해진 것입니다.

반대의 경우도 살펴봅니다. 뱀뱀즈의 우승 확률이 80%라고 하겠습니다.

제일야옹이즈의 우승 확률이 80% 또는 20%일 때, 제일은행과 삼삼은행의 예금 수익률 및 차이의 확률 분포

왼쪽은 야옹이즈의 우승 확률이 80%인 경우이고, 오른쪽은 삼뱀뱀즈의 우승 확률이 80%인 경우입니다. 수익률 차이는 여전히 -0.8%와 1.2% 두 가지이지만 확률 분포는 [20%, 80%]에서 [80%, 20%]로 바뀌었습니다. 기대 수익률 차이도 0.8%에서 -0.4%가 되었습니다. 이 경우에는 삼삼은행 예금이 확률적 우위를 가지게 됩니다.

우승 확률에 따라 달라지는 기대 수익률과 불확실성

야옹이즈의 우승 확률에 따라 기대 수익률 차이가 어떻게 변하는지 평균-분산 그래프로 그려봅니다.

제일야옹이즈 우승 확률에 따른 제일은행과 삼삼은행 예금의 수익률 차이

그래프에서 파란색은 야옹이즈의 우승 확률이 높은 경우이고, 빨간색은 뱀뱀즈의 우승 확률이 높은 경우입니다. 야옹이즈의 우승 확률이 높아질수록 제일은행과 삼삼은행의 기대 수익률 차이는 커집니다. 어느 팀이 우승할지 불확실할수록 기대 수익률 차이의 불확실성도 높아지기에 불확실성을 나타내는 표준 편차도 증가합니다.

빨간색 가로 점선은 기대 수익률이 0%로 야옹이즈 우승 확률이 40%인 경우와 만납니다. 40% × (4.5% - 3.3%) + 60% × (3.5% - 4.3%) = 40% × 1.2% - 60% × 0.8% = 0.48% - 0.48% = 0%이기 때문입니다.

나신입씨는 야옹이즈의 우승 확률이 40%가 넘으면 제일은행 예금에, 40% 미만이면 삼삼은행 예금에 가입하는 것이 기대 수익률 측면에서 유리합니다. 야옹이즈의 우승 확률이 정확이 40%라면, 어느 은행에 예금하나 동일한 기대 수익률을 가집니다. 참고: 엄밀하게는 기대 수익률은 동일하지만, 수익률 분포가 다릅니다. 이에 대해서는 이후 연재에서 자세히 살펴봅니다.

절대적 우위가 유지되는 경우

경우에 따라서는 수익률이 불확실하더라도 절대 우위가 유지될 수 있습니다. 제일은행과 삼삼은행이 각자의 팀 우승 시 주는 가산 금리가 0.1%라고 하겠습니다. 제일은행 예금은 3.5% 또는 3.6% 수익률을 얻습니다. 삼삼은행 예금으로는 3.3% 또는 3.4% 수익률을 받을 수 있습니다.

야옹이즈가 우승하면 수익률 차이는 3.6% - 3.3% = 0.3%이고, 뱀뱀즈가 우승하면 수익률 차이는 3.5% - 3.4% = 0.1%입니다. 어느 경우에나 제일은행의 예금 수익률이 더 높습니다.

각 은행의 예금 수익률은 불확실성이 있으며, 수익률 차이에도 불확실성이 있습니다. 하지만 항상 제일은행의 예금 수익률이 더 높기에 제일은행 예금은 삼삼은행 예금에 대해 100% 확률적 우위 즉 절대적 우위에 있습니다.

정리하며

수익률에 불확실성이 있는 경우 수익률 순위가 바뀔 수 있습니다. 확률적 우위는 평균적으로 특정 자산이 다른 자산에 비해 높은 수익률을 기대할 수 있는 상황을 의미합니다. 그 확률이 100%이면, 절대적 우위라고 말할 수 있습니다.

여기까지만 보면, 투자자는 각 자산의 기대 수익률을 (현실적으로는 어렵겠지만) 합리적으로 추정하고, 기대 수익률이 높은 자산을 선택하면 되는 것으로 보입니다. 투자자인 인간이 무한히 오래 살고, 무한이 반복되는 투자도 수익률 모델이 항상 동일하다면 그럴 수 있습니다. 큰 수의 법칙에 의해 장기 수익률의 평균은 기대 수익률로 수렴하기 때문입니다.

하지만, 인간의 생명은 유한하고 투자 횟수는 한정되어 있습니다. 합리적으로 도출한 수익률 모델도 완벽하지는 않으며, 수익률 모델이 지속적으로 유지되지도 않을 수 있습니다. 더욱이 중요한 투자 전략을 고려하지 않았습니다. 제일은행 예금과 삼삼은행 예금에 모두 투자하는 분산 투자입니다.

참고 도서: 왜 위험한 주식에 투자하라는 걸까? - 장기 투자와 분산 투자에 대한 통계학적 시각

이어지는 글: [중급 17] 분산 투자에 의해 수익률 분포는 어떻게 바뀔까? (제일야옹이즈와 삼삼뱀뱀즈의 우승 확률과 갑돌이의 해외여행)

목차: [연재글 목차] 투자 성과 분석 (기초편, 초급편, 중급편): 순서대로 차근차근 읽으면 좀 더 이해가 쉽습니다.

함께 읽으면 좋은 글 (최신 글)

1. [중급 15] 더 좋다는 것은 무슨 의미일까? (확률적 우위, 제일야옹이즈와 삼삼뱀뱀즈의 대결)
2. 산술 스케일과 주가 변동률 착시를 방지하는 로그 스케일 (삼성증권 mPOP에서 로그 스케일로 설정하기)
3. [파이썬 분석 23] 고정 비율 인출식 성과를 인플레이션을 고려해서 추정해 보자 (+보조 그래프)
4. [파이썬 분석 22] 고정 금액 인출식 성과를 인플레이션을 고려해서 추정해 보자
5. SK텔레콤(SKT) 해킹 대비 유심보호서비스 + 명의도용방지서비스 가입 방법 - 유심(USIM) 해킹 대비책

함께 읽으면 좋은 글 (인기 글)

1. 챗GPT(ChatGPT)로 사진을 지브리 만화 스타일로 변환하기
2. 구글 제미나이(Gemini)를 이용한 그림 생성하기 (vs. 마이크로소프트 이미지 크리에이터의 이미지 생성 AI)
3. SK텔레콤(SKT) 해킹 대비 유심보호서비스 + 명의도용방지서비스 가입 방법 - 유심(USIM) 해킹 대비책
4. 스튜디오 지브리 만화 스타일로 그림 그리기 (구글 제미나이 + ImageFX)
5. 스튜디오 지브리 만화 스타일로 그림 그리기 (구글 제미나이)