초소형주 효과의 원천은 무엇일까? (분산 투자 효과를 추정해 보자, 변동성과 수익률, 산술평균과 기하평균)

이전 글에서 국내장의 소형주 효과에 대해 살펴보았습니다. 소형주 중에서도 초소형주가 시장 평균보다 높은 수익률을 보인 현상을 확인할 수 있었습니다. 샤프 비율(Sharpe Ratio)로 보면 초소형주는 대형주보다 투자 효율이 높았음을 알 수 있었습니다. 이전 글: 소형주 효과는 정말 있을까? (국내장의 초소형주 효과)

초소형주 효과는 왜 발생하는 것일까요? 초소형주의 수익률이 높기 때문이라는 설명은 충분하지 않을 수 있습니다. 초소형주 하나에 투자하는 것이 아니라, 여러 종목에 분산 투자하기 때문입니다. 자연히 분산 투자 효과가 발생하게 됩니다.

초소형주 효과는 개별 초소형주의 높은 수익률에서 기인한 것이 아니라, 높은 변동성을 가진 초소형주에 대한 분산 투자 효과의 표출이 아닐까요? 이 글에서는 엄밀하지는 않지만, 초소형주 효과가 어디에서 발생한 것인지 분산 투자 관점에서 추정해 봅니다.

주의: 이 글은 특정 상품 또는 특정 전략에 대한 추천의 의도가 없습니다. 이 글에서 제시하는 수치는 과거에 그랬다는 의미이지, 앞으로도 그럴 거라는 예상이 아닙니다. 분석 대상, 분석 기간, 분석 방법에 따라 전혀 다른 결과가 나올 수 있습니다. 데이터 수집, 가공, 해석 단계에서 의도하지 않은 오류가 있을 수 있습니다. 일부 설명은 편의상 현재형으로 기술되어 있지만, 데이터 분석에 대한 설명은 모두 과거형으로 이해해야 합니다. 일부 설명은 통계학적으로 검증된 설명이 아닐 수 있습니다.

위험(변동성)과 수익률

위험과 수익률은 관련성이 높습니다. 대개의 투자 상품은 위험이 높을수록 더 높은 명목 수익률을 제시합니다. 제1금융권 예금보다 제2금융권 예금의 명목 이율이 더 높습니다. AAA 신용등급 회사채보다 BBB 신용등급 회사채의 명목 금리가 더 높습니다.

참고: 이 글에서 명목 수익률/이율/금리는 위험이 발생하지 않을 때 얻을 수 있는 수익률입니다. 실질 수익률/이율/금리는 각 사례별로 위험 발생 여부에 따라 달라질 수 있습니다. 기대 수익률/이율/금리는 실질 수익률/이율/금리의 통계적인 평균값 또는 기댓값을 말합니다.

위험은 여러 가지 방식으로 측정하고 표현할 수 있지만, 이 글에서는 표준 편차와 같은 수익률의 변동성을 의미합니다. 특별한 이유가 있는 것은 아닙니다. 널리 사용되고 있고 무난하면서 계산하기 편리하기 때문입니다. 참고: 자산 배분 투자는 왜 하는 것일까? (직장인은 국내 주식, 원화 채권에도 투자해야 하는 걸까?)

일등전자는 국내에서 손꼽히는 대기업입니다. 성공적인 사업 다각화로 순이익을 안정적으로 창출하고 있습니다. 경기가 등락하더라도 주가 변동성은 낮은 편입니다.

꼴등전자는 국내에서 발꼽히는 소기업입니다. 기업 규모 때문에 한 분야에만 집중하고 있습니다. 경기에 따라 순이익의 편차가 심합니다. 주가 변동성도 높습니다.

일등전자의 주가는 1년간 +25% 상승하거나, -20% 하락합니다. 꼴등전자의 주가는 같은 기간 +100% 상승하거나, -50% 하락합니다. 현재 두 종목의 주가는 같으며, 매년 배당금도 동일합니다. 매년 경기가 좋거나 나쁠 확률이 반반이라면, 어느 종목에 투자하는 것이 좋을까요?

장기 투자를 생각해 보겠습니다. 매수 후 대대손손 물려줄 생각으로 계속 보유한다고 가정하겠습니다.

일등전자의 장기 투자 수익률은 ( 1 + 25% ) × ( 1 - 20% ) - 1 = 1.25 × 0.8 - 1 = 0%입니다. 배당금을 제외하고는 투자 수익이 없습니다. 꼴등전자의 장기 투자 수익률은 ( 1 + 100% ) × (1 - 50% ) - 1 = 2 × 0.5 - 1 = 0%입니다. 일등전자와 같은 금액으로 받을 수 있는 배당금을 제외하고는 투자 수익이 없습니다.

일등전자와 꼴등전자의 장기 수익률과 배당금은 모두 동일합니다. 그렇다면 굳이 꼴등전자의 주식을 매수할 이유가 없습니다. 천년만년 보유하겠다고 생각하고 투자했지만, 예상치 못한 급한 사정으로 당일 매도해야 한다면, 위험이 높은 꼴등전자 대신 위험이 낮은 일등전자 주식이 더 나은 선택입니다. 참고: 변동성 정도의 차이 때문에, 일등전자는 프리미엄이 붙어 거래되거나, 꼴등전자는 장기 수익률 대비 낮은 가격에 거래될 수 있습니다.

장기 투자이긴 하지만 전체 자금을 투자할 필요가 없다면 어떻게 될까요? 투자 가능한 자산의 절반만 투자하고, 나머지는 현금으로 보유하면서, 매년 리밸런싱을 한다고 가정하겠습니다. 일등전자 또는 꼴등전자로 만든 현금 혼합 포트폴리오의 수익률은 아래와 같이 됩니다. 참고: 현금도 자산이기 때문에 현금 혼합 포트폴리오는 분산 투자의 한 형태입니다.

종목	상승	포트폴리오	하락	포트폴리오
일등전자	+25%	+12.5%	-20%	-10%
꼴등전자	+100%	+50%	-50%	-25%

일등전자에 절반만 투자하는 현금 혼합 포트폴리오는 일등전자 수익률의 절반인 +12.5% 또는 -10% 수익률을 거둡니다. 현금으로는 이자를 만들지 못한다고 가정하면, 연평균 성장률(CAGR)은 √(( 1 + 12.5% ) × ( 1 - 10% )) - 1 = 0.6% 정도가 됩니다. 참고: 배당금을 추가로 받지만. 설명의 편의를 위해 이후 배당금은 고려하지 않습니다.

꼴등전자에 매년 절반의 투자금을 투자하면, +50% 또는 -25% 수익률을 거둡니다. CAGR은 √(( 1 + 50% ) × ( 1 - 25% )) - 1 = 6.1%가 됩니다.

투자한 후 가만히 가지고만 있으면 두 상품의 기대 수익률은 동일하지만, 현금과 같은 다른 자산을 혼합해서 분산 투자하면 수익률이 높아집니다. 분산 투자로 얻을 수 있는 이득은 투자한 자산의 변동성이 높아질수록 커집니다. 참고: 엄밀하게는 분산 투자와 함께 수행한 리밸런싱에 의해 발생한 효과입니다. 이 글에서의 분산 투자는 리밸런싱을 전제합니다.

분산 투자로 발생하는 수익률 증가와 변동성 감소 

현금은 포트폴리오에 편입할 수 있는 자산의 한 가지입니다. 다른 자산과 상관관계가 없어  상관계수가 0인 자산입니다.

일등전자와 비슷한 규모이며, 변동성 특성도 거의 동일한 자산이 하나 더 있다면 어떻까요? 일등전자 하나에만 100% 투자하는 것보다 반반씩 분산 투자하면 이득이 생길까요?

아래는 일등전자와 동일한 주가 변동성을 가진 이등전자에 함께 투자한 경우입니다.

일등전자	이등전자	포트폴리오	발생 확률
+25%	+25%	+25%	40%
+25%	-20%	+2.5%	10%
-20%	+25%	+2.5%	10%
-20%	-20%	-20%	40%

일등전자와 이등전자가 함께 상승하면 +25% 수익률을, 함께 하락하면 -20% 수익률을 얻게 됩니다. 한 종목은 상승하고, 다른 한 종목은 하락하면 +2.5% 수익률이 발생합니다.

같은 업종이니 함께 상승하거나 함께 하락할 가능성이 높을 것입니다. 각 사건의 발생 확률을 40%, 10%, 10%, 40%로 두면, CAGR은 (1 + 25%)⁰⁴ × (1 + 2.5%)⁰² × (1 - 20%)⁰⁴ - 1 = 0.5%가 됩니다. 참고: 마침표(.) 위첨자가 없어 0.4를 04로 표기했습니다.

일등전자만 보유한 경우에는 ( +25%, +25%, -20%, -20% ) 였던 수익률 분포가 ( +25%, +2.5%, +2.5%, -20% )로 변했습니다. 맨 처음과 마지막 경우는 동일하지만, 가운데 부분은 바뀌었습니다. 가운데 부분이 ( +25%, -20% )에서 ( +2.5%, +2.5% )로 변했으니, 전체 변동성은 낮아집니다. 이등전자를 일등전자와 함께 보유하면 수익률은 높아지고, 변동성은 낮아집니다. 참고: 앞서 살펴본 현금 혼합 포트폴리오도 수익률은 높아지고 변동성은 낮아집니다.

꼴등전자도 자신과 비슷한 종목이 있습니다. 꼴찌전자입니다.

꼴등전자	꼴찌전자	포트폴리오	발생 확률
+100%	+100%	+100%	40%
+100%	-50%	+25%	10%
-50%	+100%	+25%	10%
-50%	-50%	-50%	40%

각 사건의 발생 확률이 (일등전자, 이등전자)의 경우와 동일하다면, CAGR은 (1 + 100%)⁰⁴ × (1 + 25%)⁰² × (1 - 50%)⁰⁴ - 1 = 4.6%가 됩니다. 꼴등전자 또는 꼴찌전자 하나만 보유한 경우보다 수익률은 높아지고, 변동성은 낮아집니다.

분산 투자는 수익률을 높이면서 변동성을 낮출 수 있습니다. 분산 투자 효과의 크기는 편입 자산의 변동성과 자산 간의 상관관계 정도에 따라 달라집니다.

아래는 앞에서 살펴본 일등전자, 이등전자, 꼴등전자, 꼴찌전자로 구성한 포트폴리오의 수익률을 정리한 표입니다. 배당금은 고려하지 않았습니다.

포트폴리오	CAGR
일등전자 또는 이등전자	0%
일등전자, 현금	0.6%
일등전자, 이등전자	0.5%
꼴등전자 또는 꼴찌전자	0%
꼴등전자, 현금	6.1%
꼴등전자, 꼴찌전자	4.6%

한 종목에 투자하는 경우보다는 두 종목에, 두 종목에 투자하는 것보다는 한 종목과 현금이 더 높은 수익률을 얻을 수 있습니다. 그렇다면, 한 종목에 절반만 투자하고, 나머지는 상관계수가 0인 현금으로 보유하는 전략이 항상 좋을까요?

앞서 두 종목의 수익률이 같은 방향으로 움직일 확률을 80% / (40% + 10% + 10% + 40%) = 80%로 가정하였습니다. 같은 방향으로 움직일 확률을 60%로 두면 어떳까요? 현금처럼 상관계수가 0은 아니지만, 약한 양의 상관관계가 있을 것입니다.

사건 발생 확률 분포를 (40%, 10%, 10%, 40%)에서 (30%, 20%, 20%, 30%)로 조정하면 됩니다. 10번 중에 6번은 같은 방향으로 움직이니 약한 양의 상관관계를 가지게 됩니다. 참고: 앞의 상관계수는 0.6, 뒤의 상관계수는 0.2입니다.

(일등전자, 이등전자)의 수익률은 (1 + 25%)⁰³ × (1 + 2.5%)⁰⁴ × (1 - 20%)⁰³ - 1 = 1.0%로 현금을 절반 보유한 경우인 0.6%보다 높아집니다. (꼴등전자, 꼴찌전자)의 수익률은 (1 + 100%)⁰³ × (1 + 25%)⁰⁴ × (1 - 50%)⁰³ - 1 = 9.3%로 역시 현금 포트폴리오의 6.1%보다 높아집니다.

포트폴리오의 대표(representative) 자산은 어떻게 추정할 수 있을까?

제일자산운용의 펀드 매니저인 민수는 일등전자와 같은 대형주 100 종목을 모아서 BEST 대형주 ETF를 설정하였습니다. 대형주 하나에만 장기 투자하는 것보다 대형주에 분산 투자하면 수익률은 높아지고 변동성은 낮아질 거라 생각했기 때문입니다.

민수는 문득, BEST 대형주가 똑같이 움직이는 어떤 대표 종목 100개를 모아 놓은 것과 비슷하지 않을까 하는 궁금증이 생겼습니다. 대표 종목을 추정할 수 있다면, 분산 투자로 얻는 이득을 계산할 수 있을 거라는 생각이 들었습니다. 똑같이 움직이는 대표 종목 100개에 투자하면, 상관계수가 모두 1이기에 분산 투자 효과가 발생하지 않기 때문입니다.

앞에서 일등전자의 수익률 분포는 ( 25%, -20% )였습니다. 이등전자의 수익률 분포도 ( 25%, -20% )였습니다. 일등전자와 이등전자에 반반씩 투자하면 수익률 분포가 ( 25%, 2.5%, 2.5%, -20% )로 변합니다. 이 포트폴리오의 대표 종목의 수익률 분포는 무엇일까요?

포트폴리오에 무수히 많은 종목이 있고, 종목 간에 상관관계가 없다면 쉽게 구할 수 있습니다. 절반은 25% 수익률을, 나머지 절반은 -20% 수익률을 기록했을 것입니다. 그러니 대표 종목의 수익률 분포는 ( 25%, -20% )가 됩니다.

현실적인 포트폴리오는 보유 종목 간에 상관관계가 있기에 이렇게 딱 부러지게 추출할 수는 없습니다. 대신 대략 이렇지 추정하면 되지 않을까 하는 방법은 있습니다. 기하 평균을 이용하는 것입니다.

주의: 아래는 통계학적으로 엄밀한 설명이 아닙니다.

일등전자를 포함하여 100개의 종목으로 ETF를 구성했다고 하겠습니다. 종목 간의 상관관계가 높기 때문에 함께 움직이는 경향이 있을 것입니다. 경기가 좋다면, 일등전자를 포함하여 80%는 상승, 나머지 20%는 하락했을 것입니다. 80%는 +25% 상승하고, 20%는 -20% 하락합니다. ETF 수익률은 25% × 80% - 20% × 20% = 20% - 4% = 16%가 됩니다. 산술 평균으로 계산된 수익률입니다.

현실적으로는 불가능하지만, 개별 종목에 순차적으로 투자했다면 상상하면 어떻게 될까요? (1 + 25%)⁰⁸ × (1 - 20%)⁰⁴ - 1 = 14.3%가 됩니다. 산술 평균과의 차이는 16% - 14.3% = 1.7%입니다. 이 1.7%가 분산 투자의 효과라고 추정할 수 있습니다.

민수는 초소형주 효과를 얻기 위해, 초소형주를 편입하는 BEST 초소형주 ETF도 설정하였습니다. 꼴등전자를 포함해서 100개의 종목으로 구성되어 있습니다.

경기가 좋은 때의 산술 평균은 100% × 80% - 50% × 20% = 80% - 10% = 70%가 됩니다. 기하 평균은 (1 + 100%)⁰⁸ × (1 - 50%)⁰⁴ - 1 = 51.6%입니다. 차이인 70% - 51.6% = 18.4%가 분산 투자의 효과라고 추정할 수 있습니다.

경기가 좋지 않을 때의 산술 평균은 -50% × 80% + 100% × 20% = -40% + 20% = -20%가 됩니다. 기하 평균은 (1 - 50%)⁰⁸ × (1 + 100%)⁰⁴ - 1 = -34.0%입니다. 차이인 -20% - (-34.0%) = 14%가 분산 투자의 효과라고 추정할 수 있습니다.

한 해는 경기가 좋았다가 다음 해는 경기가 좋지 않았다면, 산술 평균 수익률은 각각 70%와 -20%가 됩니다. CAGR은 √(( 1 + 70% ) × ( 1 - 20% ) - 1 = 16.6%가 됩니다. 기하 평균 수익률은 51.6%와 -34.0%입니다. ( 1 + 51.6% ) × ( 1 - 34% ) - 1 = 0%이니 CAGR은 0%가 됩니다.

꼴등전자 하나에 장기 투자하면 수익률은 0%입니다. BEST 초소형주 ETF의 개별 종목 수익률을 이용하여 계산한 기하 평균도 0% 수익률이 나옵니다. 기하 평균 수익률에서 산술 평균 수익을 뺀 연 16.6%가 분산 투자 효과라고 추측할 수 있습니다.

주의: 통계학 지식이 깊지 않기에, 산술 평균과 기하 평균의 차이로 분산 투자 효과를 모두 설명할 수 있다고 확신하지 못합니다. 충분히 많은 수의 샘플이 있다면 합리적인 수준으로 추정 가능하리라 기대하지만, 확실하지는 않습니다. 여기서는 모든 종목의 수익률 분포와 상관관계가 동일하다는 단순한 가정을 두고 예를 소개하였습니다. 종목별 수익률 분포와 상관관계가 상이한 경우에도 동일한 방식으로 추정할 수 있는지 알지 못합니다. 통계학에서 이와 관련한 연구가 이미 있을 거라 생각합니다.

참고: 문병로 교수의 저서 메트릭 스튜디오에 산술 평균과 기하 평균 이야기가 빈번하게 (사실 지겨울 정도로 자주) 등장합니다. 기억은 잘 나지 않지만, 이와 비슷한 내용이 해당 책에 설명되어 있을 수 있습니다. 서평: [책] 메트릭 스튜디오 (문병로)

시총 규모에 따른 분산 투자의 효과

아래는 이전 글에서 소개한 시총 규모에 따른 CAGR을 나타낸 그래프입니다. 참고: 소형주 효과는 정말 있을까? (국내장의 초소형주 효과)

매해 5월 말에 투자해서 다음 해 5월 말에 포트폴리오를 리밸런싱 하는 방식입니다. x축은 시총 규모의 상대적인 위치입니다. x값이 20%라면 [ 15%, 25% ] 시총 구간에 해당되는 종목에 동일가중으로 투자합니다.

빨간 점선은 전 종목에 동일가중으로 투자한 경우의 CAGR입니다. 동일가중 투자로 얻을 수 있는 시장 수익률이라 볼 수 있습니다. 대형주 투자 성과는 시장 수익률과 유사했습니다. x값이 70%를 넘어서야, 즉 시총 하위 30%에 속하는 초소형주에서 시장보다 높은 수익률이 나타났습니다.

대형주 투자 성과가 시장 수익률보다 낮다고 볼 수는 없습니다. 빨간 실선은 시총가중으로 투자한 경우의 수익률입니다. 현실에서 ETF 등에 투자하여 별다른 어려움 없이 얻을 수 있는 시장 수익률이라 볼 수 있습니다. 대형주 투자 수익률은 빨간 실선보다는 높습니다. 또한 소형주는 거래량이 적고 슬리피지가 커서, 동일가중으로 투자하더라도, 빨간 점선보다 낮은 수익률을 얻을 가능성이 높습니다. 

아래는 시총 규모에 따라 기하 평균을 계산해서 함께 나타낸 것입니다. 상장 폐지 등의 이유로 수익률을 -100%로 추정하면 기하 평균의 값은 0이 됩니다. 이를 방지하기 위해 -100% 수익률은 매해 해당 시총 규모 구간에서 가장 낮은 수익률로 대체하였습니다.

주의: 앞서 설명과 같이 산술 평균과 기하 평균의 차이가 분산 투자의 정확한 효과라는 명확한 근거는 없습니다. 또한 합병 등의 이유로 상장 폐지되는 경우 추정 수익률이 실제보다 과하게 낮아질 수 있습니다. 기하 평균이 다소 과소 평가되어, 분산 투자 효과가 커 보일 수 있습니다. 분산 투자 효과의 대략적인 경향을 살펴보는 용도로 활용하는 게 적절합니다.

파란 실선은 앞에서 본 분산 투자로 얻은 산술 평균 수익률입니다. 노란 실선은 기하 평균 수익률로 모두 0% 이하입니다. 데이터를 처리하는 과정에서 보수적으로 수익률을 선정했기에 과소 평가되었을 수 있지만, 완전히 잘못된 결과는 아닙니다.

메트릭 스튜디오를 읽으면서 가장 의아했던 부분이, 국내장 모든 종목의 기하 평균 수익률을 계산하면, 6개월에 -4.6% 손실을 본다는 분석이었습니다. 같은 기간 산술 평균 수익률은 7.4% 이익을 보았습니다. 증시가 장기 상승하는데 기하 평균으로는 손실이 생긴다는 점을 당시로는 이해하기 어려웠습니다. 테스트 조건에 따라서 차이가 있을 수 있지만, 기하 평균으로는 손실이 가능해 보입니다.

주의: 상장 폐지로 파악되면, 산술 평균으로는 -100% 손실로, 기하 평균으로는 동일 시총군의 최대 손실률을 가정하였습니다. 상장 폐지 사유는 다양합니다. 합병으로 인한 상장 폐지의 경우 실제로는 수익이 발생할 수 있습니다. 따라서 산술 평균과 기하 평균 모두 과소 추정되었을 가능성이 높습니다. 또한 기업 인수가 목적인 스펙(SPAC) 종목을 제외하지 않았기에, 기하 평균은 시총이 작을수록 과소 추정 정도가 더 클 수 있습니다.

기하 평균의 추세를 보면 대형주에서 상대적으로 높고, 조금씩 낮아지다가 초소형주에서 어느 정도 회복합니다. 초소형주 중에서도 가장 시총이 낮은 구간은 기하 평균이 낮은데, 필터링했어야 하는 일부 종목이 포함되어 있을 수 있습니다. 이 구간은 제외하고 살펴보는 것이 합리적일 수 있습니다.

90% 정도 지점까지만 본다면, 기하 평균으로 본 초소형주는 대형주보다 장기 수익률이 높지 않습니다. 데이터 처리 과정에서 기하 평균이 시총이 작아질수록 과소 추정될 가능성이 있다고 하더라도, 개별 초소형주가 개별 대형주보다 의미 있는 수준으로 수익률이 높았다고 말하기 어려워 보입니다.

위에 있는 초록 점선은 산술 평균과 기하 평균의 차이입니다. 앞서 설명한 분산 투자로 얻은 추가 수익률입니다. 시총이 작아질수록 그 효과가 커지는 현상을 발견할 수 있습니다.

정리하면, 초소형주 효과는 관찰되었지만, 개별 초소형주의 수익률이 높았기 때문이라고 보기는 어렵습니다. 변동성이 높은 초소형주에 분산 투자하여 얻은 추가 수익이 초소형주 효과의 주요 원인이라 추정할 수 있습니다.

정리하며

통계학적으로 엄밀한 설명은 아니지만, 분산 투자의 효과를 추정할 수 있는 방법 하나를 소개하였습니다. 투자한 종목 수익률의 산술 평균과 기하 평균의 차이를 살펴보는 것입니다.

분산 투자의 효과는 개별 종목의 변동성이 높을수록, 종목 간의 상관관계가 낮을수록 커집니다. 기하 평균은 변하지 않더라도 산술 평균은 높아질 수 있습니다.

국내장의 초소형주 효과를 이러한 방식으로 분석해 보았습니다. 데이터 처리에 신뢰성이 다소 부족하지만, 시총 규모에 따른 기하 평균은 대형주와 초소형주에서 상대적으로 높았습니다. 하지만 초소형주의 기하 평균이 대형주보다 높았다고 보기는 어렵습니다.

초소형주의 기하 평균이 충분히 높지 않았기에, 국내장의 초소형주 효과는 개별 초소형주의 수익률에서 비롯된 것이 아닐 가능성이 높습니다. 변동성이 높은 초소형주에 분산 투자하여 얻은 추가 수익률이 주된 원인일 가능성이 높아 보입니다.

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