분산 투자의 효과에 대한 기하학적 설명 (효율적 투자선과 변동성 감소)

자산 배분 투자 전략은 위험을 줄이기 위해 여러 자산에 동시에 투자하는 전략입니다. 자산 간의 상관관계에 따라 위험이 일부 서로 상쇄되는 효과가 있을 수 있기 때문입니다.

자산 배분 투자 전략의 효과는 해리 마코위츠의 포트폴리오 이론으로 설명됩니다. 해리 마코위츠는 이 연구로 노벨 경제학상을 받았습니다.

자산 배분 투자 전략은 수학적으로 설명이 가능하지만, 수식에 대한 이해가 필요하기에 쉽게 와닿지 않을 수 있습니다. 이 글에서는 보다 이해하기 쉽도록 기하학적인 관점에서 살펴봅니다. 

주의: 이 글은 특정 상품에 대한 추천의 의도가 없습니다. 이 글에서 제시하는 수치는 과거 데이터에 기반하고 있습니다. 앞으로도 그럴 거라는 예상이 아닙니다. 분석 방법에 따라 전혀 다른 결과가 나올 수 있습니다. 위험에 대한 정의는 투자자마다 다를 수 있습니다. 따라서 자산 배분 전략이 항상 위험을 줄일 수 있는 것은 아닙니다.

좌표평면상에서 자산의 위치

투자 측면에서 자산의 수익률은 기대 수익률과 위험으로 분해할 수 있습니다.

오성전자의 현재 주가는 10만원입니다. 애널리스트인 민수는 오성전자에 대한 분석 리포트를 발간했습니다. 최근 반도체 수요가 늘어나고 있어, 1년 뒤 목표가로 11만원(10% 수익률)을 제시합니다.

민수는 분석 리포트에 최악과 최선의 시나리오도 함께 기입합니다. 목표가는 11만원이지만, 최악의 경우 9만원(-10% 손실률)이 될 수 있고, 최선의 경우 13만원(30% 수익률)도 가능하다고 설명합니다.

민수는 오성전자의 1년 후 수익률이 10±20% 구간에 있을 거라 예상한 것입니다. 10%는 기대 수익률이고 ±20%는 변동성입니다.

위험은 투자자마다 다르게 정의할 수 있습니다. -5% 이상 손실이 생기는 경우를 위험이라 할 수도 있고, 채권 금리인 4% 보다 낮은 수익률을 얻는 것을 위험이라 볼 수도 있습니다.

금융공학에서 많이 사용하는 위험 척도의 하나는 불확실성 정도라고 할 수 있는 변동성입니다. 오성전자의 경우 ±20%로 수익률이 불확실하기에 20%를 위험도로 보는 것입니다.

손실이 발생한 경우는 위험이라 할 수 있지만, 수익이 생긴 경우는 위험이 아니지 않으냐고 할 수 있습니다. 이는 위험을 변동성으로 정의했기 때문일 뿐입니다.

투자자마다 위험에 대한 정의는 다릅니다. 매수(롱) 포지션 위주의 투자자는 손실이 실제적인 위험이라 볼 수 있습니다. 이에 비해 일부 자산에 대해 매도(숏) 포지션을 취하는 투자자라면, 수익과 손실은 모두 위험입니다.

이 글에서는 위험도를 변동성 척도의 하나인 표준편차로 가정하고 설명합니다. 기대 수익률에서 많이 벗어날 가능성이 높을수록, 위험도도 높아집니다.

자산을 기대 수익률과 표준편차의 2가지 요소로 설명한다고 가정하고, 2차원 좌평면상에 표시하면 아래와 같은 그림을 얻을 수 있습니다.

미국 주식인 SPY(KRW), 미국 장기 국채인 TLT(KRW), 한국 주식인 KODEX 200, 한국 장기 국채인 KODEX 국채선물10년의 4가지 자산이 좌표평면상에 표시되어 있습니다.

2012년 1월 20일부터 2024년 4월 24일까지, 대략 12년 3개월치 데이터를 이용하여 산술 평균수익률과 표준편차를 도출하였습니다. SPY(KRW)와 TLT(KRW)는 각각 SPY와 TLT를 원화로 환산한 것입니다.

1년을 240거래일로 가정하였고, 산술 평균으로 연수익률을 계산했기에, 1년을 기준으로 하는 CAGR 및 표준편차와 차이가 있습니다. 미국의 경우 연평균 거래일수는 252일 정도입니다.

참고: 수익률은 산술 평균 대신 기하 평균(CAGR)을 이용하고, 표준 편차도 로그를 이용하는 것이 보다 적절할 수 있습니다. 이 글에서는 분산 투자의 효과에 대한 개념적인 설명으로, 계산과 이해가 편리한 방식을 이용하였습니다.

수익률만 본다면 SPY(KRW)에 모두 투자하는 것이 바람직합니다. 나머지 세 가지 자산은 얼핏 보기에는 그다지 매력적이지 않습니다.

자산 혼합과 볼록 다각형

모든 투자자가 기대 수익률을 최대화하는 것이 목표가 아닙니다. 자산 운용에서 발생할 수 있는 위험도 고려해야 하기 때문입니다. 2년 뒤에 자녀 대학 학자금으로 사용해야 하는 자금이라면 SPY(KRW)에 100% 투자하기보다는, 좀 더 안전한 자산도 일부 편입하고 싶어 할 것입니다.

자산을 혼합하면, 아래와 같이 각 점들을 이은 결과를 얻을 수 있습니다.

SPY(KRW)와 KODEX 200을 혼합하면 파란 선 위의 결과를 얻을 수 있습니다. SPY(KRW)의 비중이 높아질수록 상단에 있는 파란 점에 가까워질 것이고, KODEX 200의 비중이 높아질수록 오른쪽에 있는 초록 점에 가까워집니다.

TLT(KRW)와 KODEX 국채선물10년의 비중을 반반으로 유지한 채, SPY(KRW)의 비중을 조절하면 보라색 점선 상의 결과를 얻을 수 있습니다.

투자 가능한 4가지 자산으로 그릴 수 있는 볼록 다각형 내의 모든 점은 조합 가능한 포트폴리오가 됩니다. 투자자가 연 8% 정도의 수익률을 얻고 싶다면, 회색 선 위의 포트폴리오를 고려할 수 있습니다. 이 중에서 변동성이 가장 낮은 노란 선과의 교차점인 SPY(KRW)와 KODEX 국채선물10년을 절반 정도씩 편입한 포트폴리오가 적절한 선택일 수 있습니다.

분산 투자에 의한 위험 축소

현실에서는 볼록 다각형 내부보다 더 좋은 결과를 얻을 수 있습니다. 자산 간에 변동성이 일부 상쇄되기 때문입니다. 아래는 두 점을 이은 자산 조합으로 얻을 수 있는 평균 수익률과 표준편차를 함께 표시한 것입니다.

두 자산을 조합하면 동일한 수익률을 보다 낮은 위험으로 얻을 수 있습니다. 마치 오른쪽에서 바람이 불어 돛이 부풀어 오른 듯한 모양이 됩니다.

주의: 분산 투자로 인해 위험이 줄어드는 이유는 위험을 변동성(표준편차)으로 정의했기 때문입니다. 위험에 대한 정의가 달라지면, 분산 투자의 효과도 달라질 수 있습니다. 대개는 위험이 줄어들지만, 경우에 따라서는 위험이 낮아지지 않거나, 오히려 증가할 수도 있습니다. 

아래는 SPY(KRW)와 TLT(KRW)를 혼합하면, 포트폴리오의 수익률과 변동성이 어떻게 변하는지 보여주는 그림입니다.

두 자산을 혼합하면, 수익률은 가중 평균이 되고, 변동성은 줄어드는 효과가 발생함을 알 수 있습니다. 다르게 말하면, 기대 수익률에 가까운 수익률을 얻을 가능성이 높아지게 됩니다.

아래는 4가지 자산을 조합하여 얻을 수 있는 포트폴리오의 수익률과 변동성의 분포를 그린 그래프입니다.

볼록 다각형 내에 있는 조합 가능한 포트폴리오들은 왼쪽으로 이동하여(변동성이 줄어들어) 보라색 점으로 이동합니다.

일부 보라색 점은 노란색 점으로 이루어진 경계를 벗어나 있습니다. SPY(KRW)와 KODEX 국채선물10년에 다른 두 자산을 추가로 혼합함으로써 변동성을 더 낮출 수 있기 때문입니다.

정리하며

합리적인 분석과 예측이 전제되어야 하지만, 자산 배분 투자 전략은 기대 수익률 대비 위험을 낮출 수 있는 효과적인 투자 전략입니다.

기하학적으로는 자산을 위험과 수익률을 x, y축으로 하는 좌표평면 위에 위치시킬 수 있습니다. 두 자산의 조합은 두 점을 잇는 직선이 되고, 여러 자산의 조합은 볼록 다각형 내의 영역이 됩니다.

자산을 조합한 포트폴리오는 자산의 변동성이 일부 서로 상쇄되어 위험이 낮아질 수 있습니다. 볼록 다각형 내의 각 점은 바람에 모래가 쓸리듯 위험이 낮아져서 왼쪽으로 이동하게 됩니다. 참고: 이는 위험을 변동성으로 정의했기 때문입니다. 위험을 다르게 정의하면 점들은 다른 형태로 이동할 수 있습니다.

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