평균-분산 그래프 (투자 비중에 따른 기대 수익률과 불확실성의 변화를 나타내 보자) [초급 10]

지난 글에서 투자금을 일부만 투자해도 수익률 분포를 정규 분포로 표현할 수 있음을 확인했습니다. 투자 비중에 따라 정규 분포의 평균과 표준 편차가 바뀝니다. 지난 글: 투자 성과 분석의 초급 - 8. 불확실성을 낮춰 보자 (현금과의 혼합, 장기 투자에서 왜 예금은 중요하지 않을까?)

수식으로는 다음과 같습니다. 수익률 분포가 N(μ, σ²)인 자산에 a 비중으로 투자하고, 예금 이율을 b로 두면 아래와 같이 됩니다. 

N(μ, σ²) × a + b × (1 - a) = N(aμ + b(1 - a), a²σ²)

어떻게 풀었냐고요? 우리의 도우미 마이크로소프트 코파일럿이 있습니다.

마이크로소프트 코파일럿을 이용한 정규 분포 수식 풀이

수식에서 a와 b를 지정하면, 정규 분포로 표현된 수익률 분포의 평균과 표준 편차를 계산할 수 있습니다. 그래프로 나타내면 무슨 모양이 되고, 어떤 의미가 있을까요?

공지: 책 출간으로 인해 부분 공개로 전환합니다. 보다 이해하기 쉽게 수정 보완한 책을 참고하시기 바랍니다. 양해 부탁드립니다. 책 소개: 왜 위험한 주식에 투자하라는 걸까? (장기 투자와 분산 투자에 대한 통계학적 시각) 출간에 부쳐 (샘플북 포함)

주의: 이 글은 특정 상품 또는 특정 전략에 대한 추천의 의도가 없습니다. 이 글에서 제시하는 수치는 과거에 그랬다는 기록이지, 앞으로도 그럴 거라는 예상이 아닙니다. 분석 대상, 기간, 방법에 따라 전혀 다른 결과가 나올 수 있습니다. 데이터 수집, 가공, 해석 단계에서 의도하지 않은 오류가 있을 수 있습니다. 일부 설명은 편의상 현재형으로 기술하지만, 데이터 분석에 대한 설명은 모두 과거형으로 이해해야 합니다.

투자 비중에 따른 수익률 분포의 변화

(책 출간으로 내용 생략)

투자 비중에 따른 수익률 분포의 변화

 

위험 자산 2가지의 투자 비중에 따른 수익률 분포의 변화

평균-분산 그래프

(책 출간으로 내용 생략)

표준 편차(x)와 평균 수익률(y)로 나타낸 포트폴리오의 위치

표준 편차(x)와 평균 수익률(y)로 나타낸 포트폴리오의 수익률 분포

상자 수염 그림

(책 출간으로 내용 생략)

표준 편차(x)와 평균 수익률(y)로 나타낸 포트폴리오의 수익률 분포 (상자 수염 그림)

 

표준 편차(x)와 평균 수익률(y)로 나타낸 포트폴리오의 수익률 분포 (상자 수염 그림: 수염 범위 [5%, 95%])

표준 편차(x)와 평균 수익률(y)로 나타낸 포트폴리오의 수익률 분포 (상자 수염 그림: 수염 범위 [75%, 95%])

정리하며

기초 자산에 현금을 혼합한 포트폴리오는 또 다른 자산으로 간주할 수 있습니다. 표준 편차와 평균 수익률을 축으로 하는 평균-분산 2차원 좌표에 자산을 나타내면, 자산 간의 상대적인 비교가 용이합니다.

어떤 데이터를 좌표에 나타낼지는 투자자의 목적에 따라 다를 수 있습니다. (표준 편차, 평균 수익률)을 점으로 간결하게 나타낼 수도 있고, 불확실성도 함께 표시하고 싶다면, 상자 수염 그림도 괜찮은 선택입니다.

특정 자산에 투자하기로 결정했다면, 투자 비중 이외에 한 가지 더 선택할 수 있습니다. 투자 기간입니다. 투자 기간이 길어지면 수익률과 표준 편차 모두 커집니다.

하지만 큰 수의 법칙 현상이 발생하기에 평균 수익률은 평균 기대 수익률로 수렴하는 효과가 발생합니다. 장기 투자일수록 평균 수익률의 표준 편차가 낮아지는 것입니다.

평균-분산 그래프에 투자 기간에 따른 자산의 특성을 나타내면 어떤 형태가 될까요?

이어지는 글: 11. 투자 기간에 따른 기대 수익률과 불확실성의 변화를 평균-분산 그래프에 나타내 보자.

목차: [연재글 목차] 투자 성과 분석 (기초편, 초급편): 순서대로 차근차근 읽으면 좀 더 이해가 쉽습니다.

책 출간 안내: 연재를 정리하여 수정 보완한 <왜 위험한 주식에 투자하라는 걸까? (장기 투자와 분산 투자에 대한 통계학적 시각)>이 출간되었습니다. 종이책(교보문고), 전자책(Yes24, 알라딘, 교보문고, 리디북스)

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