투자 성과 분석의 초급 - 10. 투자 비중에 따른 기대 수익률과 불확실성의 변화를 살펴보자 (평균-분산 그래프)

지난 글에서 투자금을 일부만 투자해도 수익률 분포를 정규 분포로 표현할 수 있음을 확인했습니다. 투자 비중에 따라 정규 분포의 평균과 표준 편차가 바뀝니다. 지난 글: 투자 성과 분석의 초급 - 8. 불확실성을 낮춰 보자 (현금과의 혼합, 장기 투자에서 왜 예금은 중요하지 않을까?)

수식으로는 다음과 같습니다. 수익률 분포가 N(μ, σ²)인 자산에 a 비중으로 투자하고, 예금 이율을 b로 두면 아래와 같이 됩니다. 

N(μ, σ²) × a + b × (1 - a) = N(aμ + b(1 - a), a²σ²)

어떻게 풀었냐고요? 우리의 도우미 마이크로소프트 코파일럿이 있습니다.

마이크로소프트 코파일럿을 이용한 정규 분포 수식 풀이

수식에서 a와 b를 지정하면, 정규 분포로 표현된 수익률 분포의 평균과 표준 편차를 계산할 수 있습니다. 그래프로 나타내면 무슨 모양이 되고, 어떤 의미가 있을까요?

주의: 이 글은 특정 상품 또는 특정 전략에 대한 추천의 의도가 없습니다. 이 글에서 제시하는 수치는 과거에 그랬다는 기록이지, 앞으로도 그럴 거라는 예상이 아닙니다. 분석 대상, 기간, 방법에 따라 전혀 다른 결과가 나올 수 있습니다. 데이터 수집, 가공, 해석 단계에서 의도하지 않은 오류가 있을 수 있습니다. 일부 설명은 편의상 현재형으로 기술하지만, 데이터 분석에 대한 설명은 모두 과거형으로 이해해야 합니다.

투자 비중에 따른 수익률 분포의 변화

기초 자산의 수익률 분포를 N(10%, 20%²)이라 하고, 투자 비중 a는 0% ~ 100%로  둡니다. 여유 자금은 은행 예금으로 b = 4% 수익률을 받을 수 있습니다. 현금 혼합 포트폴리오가 됩니다. 현금 혼합 포트폴리오 수익률의 평균 μₓ와 표준 편차 σₓ는 아래와 같습니다.

μₓ = aμ + b(1 - a) = a × 10% + 4%(1 - a) = 0.1a + 0.04 - 0.04a = 0.06a + 0.04

σₓ = √(a²σ²) = |a|σ

정규 분포를 정의하는 평균과 표준 편차를 구했으니 투자 비중 a에 따른 수익률 분포를 그려볼 수 있습니다.

투자 비중에 따른 수익률 분포의 변화

빨간색 세로 점선인 Bank는 모든 투자금을 은행에 예금하여 4% 고정 수익률을 얻는 경우입니다. Stock 20% ~ Stock 100%는 20% ~ 100% 비중으로 위험 자산에 투자하고, 남은 투자금은 예금하는 경우입니다. 위험 자산의 투자 비중이 커질수록 기대 수익률은 높아지지만, 불확실성은 증가합니다.

깔끔하고 이해하기 쉬운 그래프가 되었습니다. 정말요? 아닙니다. 그래프가 복잡해서 한눈에 알아볼 수 없습니다. 이 그래프를 보고 위험 자산 투자 비중에 따른 포트폴리오의 수익률 분포 변화를 파악할 수 있다면, 천부적인 능력을 가진 것입니다.

그나마 이 그래프는 위험 자산이 한 가지이니 그럭저럭 파악할 수 있지만, 아래와 같이 또 다른 위험 자산 N(15%, 40%²)를 추가하여 함께 표시하면 엉망진창이 됩니다.

위험 자산 2가지의 투자 비중에 따른 수익률 분포의 변화

좀 더 이해하기 쉬운 표현 방식이 필요합니다.

평균-분산 그래프

정규 분포를 정의하는 수치는 단 두 가지입니다. 평균과 표준 편차입니다. 그렇다면 2차원 좌표상에서 한 축은 평균을, 다른 축을 표준 편차로 나타내면 좀 더 이해하기 쉽지 않을까요?

표준 편차(x)와 평균 수익률(y)로 나타낸 포트폴리오의 위치

두 수치를 이용하면, 2차원 좌표상에 포트폴리오의 위치를 깔끔하게 표시할 수 있습니다. 이 그래프를 평균-분산(Mean-Variance) 그래프라 부릅니다. 참고: 이름이 왜 이렇게 붙여졌는지 잘 모르겠습니다. 현대 포트폴리오 이론에서 평균-분산 분석 결과를 설명하는 그래프이기에 이렇게 부르는 게 아닌가 싶습니다.

그래프에 각 포트폴리오는 점으로 표현되었지만, 실은 아래와 같은 모습을 축약한 것입니다.

표준 편차(x)와 평균 수익률(y)로 나타낸 포트폴리오의 수익률 분포

위험 자산 투자 비중에 따른 확률 분포도 함께 나타냈습니다. 위험 자산에 20% 투자하는 Stock 20% 포트폴리오의 수익률 분포는 파란색 점선입니다. 참고: 점선으로 표시된 확률 분포 곡선의 y값은 표준 편차가 아니라 확률 밀도입니다.

평균 수익률과 표준 편차를 이용하여 점으로만 나타내면 정보의 누락이 생기는 듯하고, 그렇다고 확률 분포를 그리면 여전히 복잡해 보입니다.

상자 수염 그림

확률 분포의 대략적인 형태를 조금 더 간결하게 표시하는 방법의 하나가 상자 수염 그림(box-and-whisker plot)입니다.

표준 편차(x)와 평균 수익률(y)로 나타낸 포트폴리오의 수익률 분포 (상자 수염 그림)

상자 수염 그림에서 상자는 [1Q, 3Q] = [25%, 75%] 구간을 나타냅니다. Q는 사분위수(quantile)의 약자입니다. 사분위수는 25% 단위로 나누어지기에, 상자 안에는 절반의 경우가 포함됩니다. 상자 가운데 그어진 검은색 수평선은 중앙값(median, 2Q)입니다. 상자 밖으로 수염(whisker)이 뻗어 있는데, 상자 길이의 1.5배 위치입니다.

상자의 길이와 수염의 길이는 분석 목적에 따라 변경할 수 있습니다. 수염의 위치를 5%와 95%로 두면 아래와 같은 그래프가 나옵니다.

표준 편차(x)와 평균 수익률(y)로 나타낸 포트폴리오의 수익률 분포 (상자 수염 그림: 수염 범위 [5%, 95%])

[윗 수염, 상자 상단, 중앙값, 상자 하단, 아랫 수염]은 [5%, 25%, 50%, 75%, 95%]에 대응됩니다. 윗 수염과 아랫 수염 사이는 [5%, 95%]이니 수익률이 90% 확률로 분포하는 구간이 됩니다.

Stock 40%가 -10% 이하의 수익률을 거둘 확률은 5% 이하이며, Stock 100%가 -20% 이하의 수익률을 거둘 확률은 5% 이상임을 알 수 있습니다. 참고: 정규 분포인 경우 상자 수염 그림의 기본 설정에서 전체 수염의 범위는 ±2.7σ 구간입니다. [0.35%, 99.65%]에 대응됩니다.

모든 자산을 이러한 방식으로 평균-분산 그래프에 나타낼 수 있지만, 평균(이 경우 중앙값)만 점으로 표시하면 위험이 어느 정도인지 즉각적으로 파악하기 어렵습니다. 상자 수염 그림도 충분히 간결하지 않습니다. 참고: 정규 분포이기에 평균과 중앙값이 동일합니다.

위험에 대한 민감도가 높다면, 아래와 같이 위험 부분만 강조한 상자 수염 그림도 생각해 볼 수 있습니다.

표준 편차(x)와 평균 수익률(y)로 나타낸 포트폴리오의 수익률 분포 (상자 수염 그림: 수염 범위 [75%, 95%])

정규 분포에서 확률 분포는 평균에 대해 좌우 대칭이니 아래쪽만 보아도 위쪽을 짐작할 수 있습니다. 위의 그림에서는 평균과 수염은 [50%, 75%] 구간이며, 수염은 [75%, 95%] 구간입니다.

정리하며

기초 자산에 현금을 혼합한 포트폴리오는 또 다른 자산으로 간주할 수 있습니다. 표준 편차와 평균 수익률을 축으로 하는 평균-분산 2차원 좌표에 자산을 나타내면, 자산 간의 상대적인 비교가 용이합니다.

어떤 데이터를 좌표에 나타낼지는 투자자의 목적에 따라 다를 수 있습니다. (표준 편차, 평균 수익률)을 점으로 간결하게 나타낼 수도 있고, 불확실성도 함께 표시하고 싶다면, 상자 수염 그림도 괜찮은 선택입니다.

특정 자산에 투자하기로 결정했다면, 투자 비중 이외에 한 가지 더 선택할 수 있습니다. 투자 기간입니다. 투자 기간이 길어지면 수익률과 표준 편차 모두 커집니다.

하지만 큰 수의 법칙 현상이 발생하기에 평균 수익률은 평균 기대 수익률로 수렴하는 효과가 발생합니다. 장기 투자일수록 평균 수익률의 표준 편차가 낮아지는 것입니다.

평균-분산 그래프에 투자 기간에 따른 자산의 특성을 나타내면 어떤 형태가 될까요?

이어지는 글: 11. 투자 기간에 따른 기대 수익률과 불확실성의 변화를 평균-분산 그래프에 나타내 보자.

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