[초급 14] 자산을 혼합하면 어떻게 될까? (불확실성이 감소할 수 있다고?)

초등학교 수학에 이런 문제가 있습니다. "90°C 물 100ml와 30°C 물 100ml를 섞으면, 온도와 물의 양은 어떻게 되는가?" 섞은 물의 온도는 평균인 (90°C + 30°C) / 2 = 60°C가 되고, 물의 양은 100ml + 100ml = 200ml가 됩니다.

조금 복잡하게 물의 양을 다르게 하면 산술 가중 평균으로 계산합니다. "90°C 물 100ml와 30°C 물 50ml를 섞으면 온도와 물의 양은 어떻게 되는가?" 섞은 물의 온도는 90°C × 2 / 3 + 30°C × 1 / 3 = 60°C + 10° = 70°C가 되고, 물의 양은 100ml + 50ml = 150ml가 됩니다.

동질의 물은 섞으면 온도는 물의 양에 따른 산술 가중 평균이 되고, 전체 물의 양은 더하면 됩니다. 모든 물질이 그럴까요?

베이킹소다와 식초는 약한 살균 효과를 가진 물질입니다. 온도가 20°C로 동일한 베이킹소다와 식초를 섞으면 어떻게 될까요? 거품이 일면서 열이 납니다. 베이킹 소다는 탄산수소 나트륨인데 산(acid)인 식초와 화학반응을 하기 때문입니다. 참고: 베이킹 소다의 살균 효과는 미미합니다. 청소, 냄새 제거 - 탄산수소 나트륨 [나무위키]

자산은 어떻까요? 두 자산을 혼합하면 어떤 일이 발생할까요?

주의: 이 글은 특정 상품 또는 특정 전략에 대한 추천의 의도가 없습니다. 이 글에서 제시하는 수치는 과거에 그랬다는 기록이지, 앞으로도 그럴 거라는 예상이 아닙니다. 분석 대상, 기간, 방법에 따라 전혀 다른 결과가 나올 수 있습니다. 데이터 수집, 가공, 해석 단계에서 의도하지 않은 오류가 있을 수 있습니다. 일부 설명은 편의상 현재형으로 기술하지만, 데이터 분석에 대한 설명은 모두 과거형으로 이해해야 합니다.

현금과의 혼합

우리는 이미 자산을 혼합한 경험이 있습니다. 현금 혼합 포트폴리오입니다. 현금(또는 예금)도 자산이기 때문입니다. 참고: 투자 성과 분석의 초급 - 10. 투자 비중에 따른 기대 수익률과 불확실성의 변화를 살펴보자 (평균-분산 그래프)

아래는 수익률 분포가 N(10%, 20%²)인 주식과 고정 금리 4%인 예금을 혼합했을 때의 투자 비중에 따른 평균-분산 그래프입니다.

위험 자산과 예금과의 혼합

예금은 변동성이 없는 N(4%, 0%²) 수익률 분포를 가지는 자산이라 볼 수 있습니다. N(10%, 20%²)에 비중 a만큼 투자하고, 나머지 (1 - a)는 N(4%, 0%²)에 투자하면 아래와 같이 됩니다.

N(10%, 20%²) × a + N(4%, 0%²) × (1 - a) = N(6% × a + 4%, (20% × a)²)

평균은 6% × a + 4%이고, 표준 편차는 20% × a입니다. 평균과 표준 편차 모두 a에 선형으로 비례하기에 위의 그래프와 같이 직선으로 나타납니다. 예를 들어 a = 50%라면, 평균은 6% × 50% + 4% = 3% + 4% = 7%가 되고 표준 편차는 20% × 50% = 10%가 되어 (10%, 7%)에 위치합니다.

동일하게 움직이는 두 자산의 혼합

시장에는 동일한 지수를 추종하는 ETF가 여럿 있습니다. SPY와 VOO 모두 S&P 500 지수를 추종하는 ETF입니다. 아래는 SPY와 VOO의 배당 재투자 수익률을 그린 그래프입니다.

SPY vs VOO

두 ETF는 거의 동일하게 움직였기에 하나로 겹쳐 보입니다. 1년(250거래일) 평균 수익률과 표준 편차를 계산하면 아래와 같습니다. 거의 차이가 없습니다. 약간의 평균 수익률 차이는 VOO의 보수가 살짝 낮기 때문입니다.

종목	1년 평균 수익률	표준 편차
SPY	14.09%	12.71%
VOO	14.13%	12.76%

평균-분산 그래프에 두 자산을 나타내면 아래와 같습니다.

평균-분산 그래프 상의 SPY와 VOO

큰 동그라미로 표시했지만, 눈에 보이는 차이가 없어 하나로 보입니다.

이 두 자산을 혼합하면 어떻게 될까요? SPY와 VOO는 동일한 기초 지수를 추종하기에 SPY가 2% 오르는 날에 VOO도 2% 오릅니다. SPY가 -1% 하락한 날에는 VOO도 -1% 하락합니다. 참고: 호가 간격이나 투자자의 집중도에 따라 단기적으로는 미미한 차이가 발생할 수 있습니다.

마치 90°C 물과 90°C 물을 섞고, 20°C 물과 20°C 물을 섞는 것과 같습니다. 같은 온도의 물을 섞으면 온도 변화가 없듯이, SPY와 VOO는 어떤 비중으로 분산 투자하더라도 동일한 결과가 납니다. 아래와 같습니다.

SPY = SPY × 80% + VOO × 20% = SPY × 50% + VOO × 50% = SPY × 20% + VOO 80% = VOO

완전히 동일하게 움직이는 두 자산은 혼합해도 각각 따로 투자하는 것과 차이가 없습니다.

일정 비율로 동일하게 움직이는 자산

N(10%, 20%²)과 동일한 방향으로 움직이는데, 움직이는 폭은 절반인 저변동 주식이 있다고 하겠습니다. 고변동 주식이 4% 오르면 저변동 주식은 2% 오르고, 고변동 주식이 -2% 하락하면, 저변동 주식은 -1% 하락하는 것입니다. 저변동 주식의 수익률 분포는 N(5%, 10%²)가 됩니다.

두 자산을 혼합하면 어떻게 될까요? 평균-분산 그래프에 저변동 주식(Stock LV)을 함께 나타내면 아래와 같습니다.

저변동 주식과의 혼합

파란색 점이 저변동 주식의 위치입니다. 얼핏 봐도 뭔가 이상합니다. 오렌지색 선은 고변동 주식(Stock)과 예금(Bank)을 혼합한 포트폴리오인데 그 아래에 있습니다.

고변동 주식과 예금을 절반씩 섞으면 기대 수익률은 7%이고 표준 편차는 10%입니다. Stock 50% 지점입니다. 저변동 주식의 기대 수익률은 이보다 낮은 5%이고 표준 편차는 동일하게 10%입니다.

수익률 분포 추정이 충분히 정확하다면 파란색의 저변동 주식은 투자 가치가 없는 자산입니다. 고변동 주식과 예금을 혼합하면, 동일한 불확실성으로 7% - 5% = 2% 더 높은 수익률을 얻을 수 있기 때문입니다.

만일 동일한 수준의 수익률은 원한다면, 고변동 주식의 투자 비중을 더 낮추면 됩니다. 초록색 점선과 오렌지색 실선이 교차하는 지점입니다. 방정식을 풀면 고변동 주식에 대한 투자 비중이 나옵니다.

6% × a + 4% = 5%

6% × a  = 1%

a = 1 / 6

1 / 6 비중으로 고변동 주식에 투자하고, 나머지 5 / 6는 예금에 투자하면 기대 수익률은 5%가 됩니다. 표준 편차는  20% × a = 20% × 1 / 6 = 3.33%입니다. 저변동 주식과 동일한 기대 수익률을 1 / 3의 표준 편차로 얻을 수 있습니다. 수학은 정말 아름답습니다.

동일한 방향으로 같은 비율로 움직이는 자산을 혼합하면 선분이 됩니다. 그래프에서 파란색 선입니다. 절반씩 혼합하면 선분의 중점에 위치한 포트폴리오가 되고, 1 : 3으로 혼합하면 선분의 1 : 3 위치에 해당하는 포트폴리오가 됩니다.

선분 위의 두 점을 적절한 양의 비율로 혼합하면 선분 위에 위치하는 다른 점이 됩니다. 자연수에 대해 더하기 연산이 닫혀있는 것과 비슷합니다.

고변동 주식과 예금을 혼합한 모든 포트폴리오는 오렌지 색 선분 위에, 고변동 주식과 저변동 주식을 혼합한 모든 포트폴리오는 파란색 선분 위에 놓이게 됩니다.

고변동 주식과 저변동 주식으로 만들어지는 선분을 왼쪽 아래로 연장하면 (0%, 0%)인 원점까지 이어집니다. 저변동 주식은 고변동 주식에 절반을 투자하고, 나머지 자금은 예금 대신 금고에 넣어둔 혼합 포트폴리오와 동일합니다. (0%, 0%)는 이자를 주지 않는 금고 자산입니다.

반대 방향으로 움직이는 자산이 있다면?

저변동 주식이 고변동 주식의 반대 방향으로 절반 크기로 움직인다면 어떻게 될까요? 고변동 주식과 저변동 주식에 절반씩 투자하면 아래와 같이 됩니다. 참고: 표의 수치는 평균 수익률 대비 추가 수익률로 간주할 수 있습니다. 고변동 주식의 20% 수익률은 10%(평균 수익률) + 20% = 30%로 볼 수 있습니다. 

고변동 주식	저변동 주식	1 : 1 포트폴리오
-20%	10%	-5.0%
-10%	5%	-2.5%
0%	0%	0%
10%	5%	2.5%
20%	10%	5.0%

혼합 후 평균 수익률은 정해져 있습니다. 온도가 다른 두 물을 섞었을 때의 온도를 산술 가중 평균으로 구하는 것과 동일합니다. 고변동 주식의 평균 수익률은 10%이고, 저변동 주식의 평균 수익률은 5%이니, 절반씩 투자하면 (10% + 5%) / 2 = 7.5%가 됩니다.

눈여겨보아야 하는 것은 수익률 분포의 변화입니다. 고변동 주식은 [-20%, 20%] 구간에서 움직이고, 저변동 주식은 [-10%, 10%] 구간에서 움직입니다. 혼합 포트폴리오는 [-5%, 5%] 사이에 움직이고 있습니다.

불확실성 정도를 평균에서 최대 또는 최소 수익률까지의 간격이라고 정의하면 고변동 주식은 20%, 저변동 주식은 10%인데, 혼합 포트폴리오는 5%가 됩니다. 평균값이 아니게 됩니다.

완전히 같은 방향 또는 완전히 반대 방향으로 일정한 비율로 움직이는 자산을 혼합할 때, 표준 편차는 산술 가중 평균으로 구할 수 있습니다. 고변동 주식과 저변동 주식의 표준 편차는 20%와 10%입니다. 참고: 변동성을 계산한 표준 편차는 0 미만이 될 수 없습니다. 완전히 반대 방향으로 움직이는 자산인 경우 자산 하나의 표준 편차를 음으로 두고 계산한 산술 가중 평균의 절대값이 됩니다. 이어지는 글에서 이에 대해 설명합니다.

반반씩 혼합했는데 같은 방향이면 (20% + 10%) / 2 = 15%가 되고, 반대 방향이라면 부호가 바뀌어서 (20% - 10%) / 2 = 5%가 됩니다. 혼합 포트폴리오는 N(7.5%, 5%²)인 정규 분포가 됩니다. 참고: 엄밀한 수식은 |20% + 10%| / 2 = 15%, |20% - 10%| / 2 = 5%입니다.

평균-분산 그래프에 나타내면 아래와 같이 됩니다.

-1의 상관성을 가진 두 자산을 혼합했을 때

투자 가능한 자산이 고변동 주식과 예금만 있다면, 투자자가 만들 수 있는 모든 포트폴리오는 오렌지색 선분 위에 있습니다. 투자 가능한 자산이 저변동 주식과 예금만 있다면, 파란색 선분 위의 점들만 선택 가능한 포트폴리오입니다.

저변동 주식을 예금과 어떻게 혼합하든, 고변동 주식에 예금을 혼합한 좀 더 나은 포트폴리오가 존재합니다. 파란색 선분의 각 점에서 볼 때, 위쪽으로 이동하든 왼쪽으로 이동하든 모두 오렌지색 선분과 만나기 때문입니다. 아래와 같은 우위 관계가 성립합니다.

오렌지색 선분 > 파란색 선분

투자 가능한 자산이 고변동 주식과 저변동 주식인데, 두 주식의 수익률 방향이 완전히 일치하고 비율만 다르다면, 회색 점선 상의 포트폴리오를 만들 수 있습니다. 회색 점선 상의 포트폴리오도 모두 오렌지색 선에 우위인 포트폴리오가 존재합니다. 아래와 같은 우위 관계가 성립합니다.

오렌지색 선분 > 회색 점선분

저변동 주식이 고변동 주식과 완전히 반대 방향으로 움직인다면 이야기가 달라집니다. 그래프에서 초록색 점은 저변동 주식과 고변동 주식에 절반씩 투자한 포트폴리오입니다. 파란색 선분과 회색 점선분과는 다르게 오렌지색 선분 위에 있습니다. 상황에 따라서는 오렌지색 선분 위의 포트폴리오보다 우위에 있을 수 있습니다.

정리하며

두 자산을 혼합하면 평균 수익률은 두 자산 평균 수익률의 산술 가중 평균이 됩니다. 온도가 다른 물을 섞었을 때 얻을 수 있는 온도를 계산하는 것과 같습니다.

수익률 분포는 자산 간의 관계에 따라 달라집니다. 금고 현금이나 은행 예금과 같이 변동성이 없는 자산을 혼합하면 표준 편차는 선형으로 비례합니다. 평균-분산 그래프에서 두 자산을 이은 선분의 형태로 나타납니다.

완전히 동일한 방향으로 그 비율만 다르게 움직이는 경우도 마찬가지입니다. 두 자산을 이은 선분이 됩니다.

완전히 반대 방향으로 그 비율만 다르게 움직인다면 특이한 현상이 발생합니다. 평균 수익률은 여전히 두 자산의 산술 가중 평균이지만, 불확실성을 표현할 수 있는 표준 편차가 줄어듭니다. 혼합 비율에 따라서는 특정 투자 기간 동안 두 기초 자산보다 우위에 있는 포트폴리오가 만들어질 수 있습니다.

투자 세계에 자산 간의 관계는 완전히 방향이 같은 것도 아니고, 완전히 반대인 것도 아닙니다. 그 사이 어딘가에 위치합니다. 어떻게 하면 이러한 현상을 보다 쉽게 이해하고 설명할 수 있을까요?

이어지는 글: 투자 성과 분석의 초급 - 15. 혼합 포트폴리오의 수익률과 표준 편차의 범위는 어떻게 될까? (삼각형을 그려보자!)

목차: [연재글 목차] 투자 성과 분석 (기초편, 초급편): 순서대로 차근차근 읽으면 좀 더 이해가 쉽습니다.

책 안내: 연재를 정리하여 수정 보완한 <왜 위험한 주식에 투자하라는 걸까? (장기 투자와 분산 투자에 대한 통계학적 시각)>이 출간되었습니다. 종이책(교보문고), 전자책(Yes24, 알라딘)

함께 읽으면 좋은 글:

• 투자 성과 분석의 초급 - 13. 장기 투자에서의 위험의 변화를 쉽게 표현하고 비교하는 방법은 무엇일까?
• 투자 성과 분석의 초급 - 12. 다시 보자! 샤프 비율! (투자 기간과 투자 비중에 따른 기대 수익률과 불확실성을 평균-분산 그래프에 나타내 보자.)
• 투자 성과 분석의 초급 - 11. 투자 기간에 따른 기대 수익률과 불확실성의 변화를 평균-분산 그래프에 나타내 보자.
• 투자 성과 분석의 초급 - 10. 투자 비중에 따른 기대 수익률과 불확실성의 변화를 살펴보자 (평균-분산 그래프)
• 투자 성과 분석의 초급 - 9. 불확실성을 높여 보자 (레버리지 투자, 위험이 증폭되네? 안정적인 레버리지 투자를 위한 기본 요건)
• S&P 500 국내 ETF는 무엇이 좋을까? (국내 상장 ETF 9종 비교와 분석)
• QQQ5(QQQ 5배 레버리지)는 1년간 얼마나 녹았을까?
• JEPI/JEPQ는 특별한가? (SCHD/QQQ + 현금과의 비교)
• 해외 ETF는 세금이 어떻게 부과될까? (배당소득세와 양도소득세)
• 외화 RP는 위험한가? (증권사가 RP를 운용하는 방법)