[초급 17] 평균-분산 그래프에서 우위 관계 (내가 더 나아! 아니야! 불확실해!)

투자 성과 분석 기초편에서 우위(dominance) 관계에 대해 설명한 적이 있습니다. 철수, 영희, 민수가 수학과 영어 시험을 치고, 누구의 시험 점수가 높은지에 설명하는 이야기였습니다. 지난 글: [기초 8] 수익률과 위험을 함께 고려해 보자! 왜 어려울까?

철수, 영희, 민수의 수학과 영어 점수

평가 기준이 두 개인 경우 우위를 판별할 수 있는 경우도 있고, 그렇지 못한 경우도 있습니다. 영희와 민수는 비교할 수 있습니다. 영희와 민수의 수학 점수는 동일하지만, 영희의 영어 점수가 민수보다 높기 때문입니다. 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

영희 > 민수

철수와 영희는 우위 관계가 성립하지 않습니다. 수학 점수는 영희가 높지만, 영어 점수는 철수가 높기 때문입니다.

평균-분산 그래프에서도 비슷한 현상이 발생합니다. 우위를 판별할 수 있는 경우도 있고 아닌 경우도 있습니다. 아래는 예금을 포함한 4가지 자산을 평균-분산 그래프에 나타낸 그림입니다. 

평균과 표준 편차가 다른 4가지 자산

왼쪽 아래 자산 A(예금)을 기준으로 시계 방향으로 자산 B, C, D입니다. 자산 간의 우위는 어떻게 판별할 수 있을까요?

주의: 이 글은 특정 상품 또는 특정 전략에 대한 추천의 의도가 없습니다. 이 글에서 제시하는 수치는 과거에 그랬다는 기록이지, 앞으로도 그럴 거라는 예상이 아닙니다. 분석 대상, 기간, 방법에 따라 전혀 다른 결과가 나올 수 있습니다. 데이터 수집, 가공, 해석 단계에서 의도하지 않은 오류가 있을 수 있습니다. 일부 설명은 편의상 현재형으로 기술하지만, 데이터 분석에 대한 설명은 모두 과거형으로 이해해야 합니다.

평균-분산 그래프에서 자산 간의 우위

평균-분산 그래프는 두 가치 척도(metric)를 사용합니다. x축은 표준 편차이고, y축은 평균 수익률입니다. 평균 수익률은 높을수록 좋고, 표준 편차는 낮을수록 좋습니다. 좌표상의 한 점에서 왼쪽으로 갈수록 그리고 위로 갈수록 더 좋은 투자 자산이라 할 수 있습니다. 참고: 철수네 반 시험 성적의 경우 오른쪽으로 갈수록 그리고 위로 갈수록 더 좋은 성적입니다.

확실한 우위 관계가 성립하는 경우는 한 가지밖에 없습니다. 자산 B(저변동 고수익)와 자산 D(고변동 저수익)입니다. 자산 B가 자산 D의 왼쪽 위에 있기 때문입니다. 자산 B는 자산 D보다 낮은 변동성으로 더 높은 수익률이 기대할 수 있는 자산입니다. 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

B > D

다른 경우는 어떻까요? 얼핏 봐서는 알 수 없습니다. 그래프에서 자산 A는 변동성이 없는 은행 예금입니다. 따라서 자산 B, C, D에 자산 A를 혼합하면 현금(예금) 혼합 포트폴리오를 만들 수 있습니다. 참고: 예금 혼합 포트폴리오라고 해야 보다 정확하지만, 편의상 현금 혼합 포트폴리오라고 칭합니다.

자산 B, C, D를 자산 A(예금)와 혼합한 포트폴리오

자산 D에 현금을 혼합하여 만들 수 있는 모든 포트폴리오는 빨간색 선 AD 위에 있습니다. 빨간색 선 AD 상의 모든 포트폴리오는 왼쪽으로 수평 이동하면 초록색 선 AC와 만납니다.

그래프에서 x축에 평행인 수평선 위의 모든 지점은 동일한 기대 수익률을 가지고 있습니다. 따라서, 동일한 수익률을 더 낮은 변동성으로 달성할 수 있는 포트폴리오가 초록색 선 위의 항상 존재합니다. 초록색 선 AC은 빨간색 선 AD 보다 우위에 있습니다.

초록색 선 AC > 빨간색 선 AD

이 수식은 자산 C와 자산 D에 자산 A를 혼합할 경우, 자산 C가 자산 D의 우위에 있다는 조건부 우위입니다.

빨간색 선 AD와 오렌지색 선 AB는 어떻까요? 빨간색 선 AD 상의 모든 포트폴리오는 왼쪽으로 가면 오렌지색 선을 만납니다. 빨간색 선 상의 어떤 포트폴리오라도 더 낮은 변동성으로 동일한 수익률을 기대할 수 있는 포트폴리오가 오렌지색 선 상에 있습니다. 따라서 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

오렌지색 선 AB > 빨간색 선 AD

오렌지색 선 AB와 초록색 선 AC는 어떻까요? 초록색 선 AC 상의 포트폴리오 일부는 왼쪽으로 이동하면 오렌지색 선 AB와 만나지만, 일부는 그렇지 않습니다. 우위를 판별할 수 없습니다. 부분적으로 우위에 있다고 볼 수 있습니다.

오렌지색 선 AB > 초록색 선 AC (기대 수익률이 20% 이하인 경우)

우위에 있다는 의미는 무엇일까요? 우위에 있는 자산은 항상 열위에 있는 자산에 비해 높은 수익률을 얻는다는 뜻일까요?

평균-분산 그래프에서 우위의 의미

평균-분산 그래프에서 자산 B는 자산 D에 우위에 있습니다. 자산의 y축 위치는 평균 또는 기대 수익률입니다. 자산 B의 수익률이 항상 20%가 아니듯, 자산 D의 수익률도 항상 10%가 아닙니다. 평균 수익률이 20%와 10%입니다. 수익률의 불확실성 정도는 x축의 표준 편차로 표현됩니다.

자산 B와 자산 D의 수익률은 정규 분포를 따르므로 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

자산 B와 자산 D의 수익률 분포

자산 D가 자산 B보다 높은 수익률을 얻는 구간은 대략 [40%, 60%]입니다. 그 차이는 빨간색 영역인데 넓어 보이지 않습니다. 반대로 20% 수익률 근처에서 자산 B가 자산 D보다 높은 수익률을 얻는 오렌지색 영역은 커 보입니다.

얼핏 보기에 자산 B가 항상 자산 D보다 높은 수익률을 거두는 것은 아니지만, 꽤 안정적으로 높은 수익률을 얻을 수 있는 것처럼 보입니다. 정말 그럴까요?

자산 B와 D의 상관성에 따라 달라집니다. 두 자산의 수익률이 독립이라 가정해 보겠습니다. 독립인 두 정규 분포를 더하는 경우와 마찬가지로 독립인 두 정규 분포를 빼도 정규 분포가 됩니다. 수학은 아름답습니다.

N(20%, 10%²) - N(10%, 20%²) = N(20%, 10%²) + N(-10%, 20%²) = N(20% - 10%, 20%² + 10%²) = N(10%, 4% + 1%) = N(10%, 5%) ≒ N(10%, 22.4%²)

평균이 10%이고 분산이 5%인, 즉 표준 편차가 22.4%인 정규 분포가 됩니다. 아래의 초록색 선과 같은 형태가 됩니다.

자산 B - 자산 D의 수익률 분포

그래프에서 초록색으로 칠해진 영역이 자산 B가 자산 D보다 낮은 수익률을 거두는 구간입니다. 자산 B가 자산 D에 비해 평균 수익률은 2배이고, 변동성은 절반이지만, 자산 B가 더 낮은 수익률을 보일 확률은 상당히 높습니다.

평균-분산 그래프에서 우위는 절대적 우위가 아닙니다. 확률적 우위입니다. 확률적 우위 정도는 두 자산 간의 상관성에 따라 달라집니다. 두 자산의 수익률을 독립으로 가정하고 코파일럿에게 물어보면, 자산 B의 수익률이 자산 D보다 낮을 확률은 32.7%입니다. 약 1 / 3입니다.

서로 독립인 경우처럼, 완전히 같은 방향 또는 완전히 반대 방향으로 움직이는 경우도 수익률의 차이는 정규 분포를 따릅니다. 아래는 시뮬레이션을 통해 두 경우를 추가하여 그린 그래프입니다.

자산 B - 자산 D의 수익률 분포 (독립, +1 또는 -1의 상관성이 있는 경우)

초록색 선으로 표시된 독립인 경우에 비해 파란색 선으로 표시된 +1의 상관성이 있는 경우는 자산 B의 수익률이 더 높을 확률이 커졌습니다. 반대로 상관성이 -1인 보라색 분포의 경우 자산 B가 더 높은 수익률을 거둘 확률이 낮아졌습니다. 참고: 세 분포 모두 정규 분포이고 평균은 양수인 10%로 동일하므로, 평균의 높이가 낮아질수록 자산 B가 더 낮은 수익률을 거둘 확률이 높아집니다.

정리하며

평균-분산 그래프에서 우위는 상대적인 위치로 판별합니다. 그래프에서 위로 갈수록 평균 수익률은 높아지고, 왼쪽으로 갈수록 표준 편차는 줄어듭니다. 그러한 위치에 있는 자산을 투자에 더 유리한 우위에 있다고 말합니다.

평균-분산 그래프에서 우위는 확률적 우위입니다. 우위에 있는 자산이 항상 열위에 있는 자산에 비해 더 높은 수익률을 거둔다고 말할 수 없습니다. 다만 투자 기간이 길어질수록 평균 수익률 대비 표준 편차가 감소하는 큰 수의 법칙 효과가 발생하기에, 우위에 있는 자산이 더 높은 수익률을 얻을 가능성이 점차 높아집니다.

평균-분산 그래프는 1회 투자에 대한 자산의 기대 수익률과 불확실성을 표현하는 동시에, 충분히 오랜 기간 투자했을 때 어떤 자산이 명확하게 더 유리한지 손쉽게 비교할 수 있는 기능을 제공합니다.

그런데 궁금합니다. 자산 B에 비해 열위에 있는 자산 D는 투자에 고려할 필요가 없는 자산일까요? 

이어지는 글: [초급 18] 꼴찌 자산의 반란 (나도 쓸모가 있을 수 있다고! 개똥도 약이 될 수 있다!)

목차: [연재글 목차] 투자 성과 분석 (기초편, 초급편): 순서대로 차근차근 읽으면 좀 더 이해가 쉽습니다.

책 안내: 연재를 정리하여 수정 보완한 <왜 위험한 주식에 투자하라는 걸까? (장기 투자와 분산 투자에 대한 통계학적 시각)>이 출간되었습니다. 종이책(교보문고), 전자책(Yes24, 알라딘)

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