투자 성과 분석의 초급 - 12. 다시 보자! 샤프 비율! (투자 기간과 투자 비중에 따른 기대 수익률과 불확실성을 평균-분산 그래프에 나타내 보자.)

지난 두 편의 글을 통해 위험 자산에 대한 투자 비중을 줄이거나 투자 기간을 늘리면, (단위 기간) 평균 수익률의 표준 편차가 감소함을 확인했습니다.

• 투자 성과 분석의 초급 - 10. 투자 비중에 따른 기대 수익률과 불확실성의 변화를 살펴보자 (평균-분산 그래프)
  
• 투자 성과 분석의 초급 - 11. 투자 기간에 따른 기대 수익률과 불확실성의 변화를 평균-분산 그래프에 나타내 보자.
  

표준 편차와 평균 수익률을 두 축으로 하는 평균-분산 그래프에 포트폴리오의 평균 수익률을 나타내 보면 아래와 같은 형태가 됩니다.

현금 비중과 투자 기간에 따른 평균 수익률과 표준 편차의 변화

왼쪽 그래프는 투자 비중을 조금씩 증가시킨 경우입니다. 무위험 무변동 자산인 은행 예금에 해당되는 점에서 출발하여 위험 자산의 1년 수익률 평균과 표준 편차에 해당되는 점을 잇는 선분이 됩니다.

오른쪽 그래프는 투자 기간을 늘린 경우입니다. 1년 수익률 평균과 표준 편차에 해당하는 점에서 출발하여 왼쪽으로 이동하는 선분이 됩니다. 무한히 오랜 시간 투자하면 표준 편차는 0%에 접근하게 됩니다.

왼쪽 그래프의 투자 비중은 투자자가 결정할 수 있습니다. 그러니 오렌지색 선분의 모든 점은 선택 가능한 포트폴리오입니다. 마찬가지로 오른쪽 그래프의 투자 기간을 투자자가 결정한다면, 초록색 선분의 모든 점도 선택 가능한 포트폴리오입니다.

두 그래프를 한 그래프로 통합하여 나타내면 무슨 모양이 될까요? 

주의: 이 글은 특정 상품 또는 특정 전략에 대한 추천의 의도가 없습니다. 이 글에서 제시하는 수치는 과거에 그랬다는 기록이지, 앞으로도 그럴 거라는 예상이 아닙니다. 분석 대상, 기간, 방법에 따라 전혀 다른 결과가 나올 수 있습니다. 데이터 수집, 가공, 해석 단계에서 의도하지 않은 오류가 있을 수 있습니다. 일부 설명은 편의상 현재형으로 기술하지만, 데이터 분석에 대한 설명은 모두 과거형으로 이해해야 합니다.

3차원으로 그려본 평균-분산 그래프

이전 글에서 살펴본 수식을 이용하면 투자 비중과 투자 기간에 따른 수익률 분포를 추정할 수 있습니다.

수익률 분포가 N(10%, 20%²)인 자산의 투자 비중은 a로, 남은 현금으로 얻을 수 있는 예금 수익률은 b로, k년간 투자하면, 수익률의 분포는 아래와 같이 됩니다. 참고: 누적 수익률 분포를 기간인 k로 나눈 것입니다.

N(0.06a + 0.04, 1 / √k × a² × 20%²)

추정한 수익률 분포의 평균과 표준 편차를 3차원 그래프에 나타내면 아래와 같은 형태가 됩니다.

3차원 상에 나타낸 투자 비중과 투자 기간에 따른 평균 수익률과 표준 편차

x축은 표준 편차, y축은 평균 수익률, z축은 투자 기간입니다. 같은 색의 점으로 이어져 있는 것처럼 보이는 각 선분은 동일 기간 투자에서 투자 비중을 조절한 포트폴리오의 집합입니다.

맨 아래에 있는 파란색 선분은 본 글의 첫 번째 그래프와 동일합니다. 3차원 그래프를 위에서 보면서, 각 선분의 오른쪽 끝을 이으면, 본 글의 두 번째 그래프와 동일합니다. 각 선분은 왼쪽 끝은 모두 은행 예금 금리에 해당되는 4% 수익률 지점으로 이어집니다.

맨 아래의 파란색 선분의 오른쪽 끝은 평균 10%, 표준 편차 20%에 해당됩니다. 3차원 공간 상에 떠 있는 모습을 그려지다 보니, 정확한 수치를 가늠하기 어렵습니다.

지날 글에서 설명한 것처럼, 3차원 물체를 종이나 모니터와 같은 2차원 평면에 투영(projection)하면 한눈에 이해하기 어렵습니다. 이 그래프도 이리저리 돌려가며 다양한 방향에서 관찰해야 어떤 형태인지 보다 정확하게 인지할 수 있습니다. 참고: 투자 성과 분석의 기초 - 13. 어떤 지표가 무난할까? (CAGR과 표준편차)

2차원 평면에 투영한 평균-분산 그래프

조금 더 이해하기 쉽도록 위에서 내려다본 2차원 그래프로 바꾸어 봅니다. 투자 기간은 색을 달리하면 구분이 용이합니다.

2차원 상에 나타낸 투자 비중과 투자 기간에 따른 평균 수익률과 표준 편차

왼쪽 아래 은행 예금에 해당하는 (0%, 4%)를 한 점으로 투자 기간에 따라 선분이 반시계 방향으로 회전하는 형태를 보이고 있습니다. 현금 비중은 높을수록 투자 기간은 길수록 평균 수익률 대비 표준 편차가 낮아집니다.

위 그래프는 포트폴리오 평균 수익률을 나타낸 것입니다. 위험도 함께 표시해 보겠습니다. 하위 10% 수익률을 위험 지점이라 보고, 우리의 친구 코파일럿에게 물어봅니다.

코파일럿에 정규 분포에서 하위 10% 위치를 질문한 결과

하위 10% 위치는 (평균 - 1.28 표준 편차)라고 합니다. 평균이 10%이고, 표준 편차가 20%라면 10% - 1.28 × 20% = 10% - 25.6% = -15.6%가 됩니다. 정말 도움이 되는 친구입니다.

앞에서 본 그래프에 상위 90%(하위 10%) 수익률에 해당되는 점도 함께 표시하면 아래와 같은 그래프가 됩니다.

투자 비중과 투자 기간에 따른 평균 수익률, 하위 10% 수익률과 표준 편차

간략하게 표시하기 위해 1, 4, 9, 16년의 경우를 표시했습니다. 파란색 점들이 앞에서 본 그래프의 점에 해당됩니다. 오렌지색 점은 하위 10%의 수익률입니다. 투자 비중이 줄어들수록 그리고 투자 기간이 늘어날수록 위험도 감소하는 것을 알 수 있습니다.

위에서 두 번째 오렌지색 선인 9년 정도를 투자하면, 투자 비중에 관계없이 원금 손실 가능성은 10% 이하가 됩니다. 그 아래 오렌지색 선인 4년간 투자한다면, 2 / 3 정도 비중으로 투자하면 원금 손실 가능성이 10% 이하가 됩니다.

다시 보자 샤프 비율!

이전 글에서 샤프 비율(Sharp Ratio)은 평균-분산 그래프에서 현금(예금)과 혼합한 포트폴리오로 만들어진 선분의 기울기이며, 투자 효율을 나타내는 지표의 하나라고 설명하였습니다. 참고: 투자 성과 분석의 기초 - 14. 투자 효율 = 수익과 위험의 비 (샤프 비율 = 수익률 / 표준편차)

아래는 예금 이율이 2%인 경우 KODEX 200과 SPY를 평균-분산 그래프에서 샤프 비율로 비교한 경우입니다. 출처: 투자 성과 분석의 기초 - 14. 투자 효율 = 수익과 위험의 비 (샤프 비율 = 수익률 / 표준편차)

사프 비율에 대한 기하학적 설명

얼핏 생각하기에 샤프 비율이 높으면 투자 효율이 높으니, 좀 더 나은 투자 자산이라 생각할 수 있습니다. 맞는 측면도 있고, 아닌 측면도 있습니다.

위의 그래프를 보면 샤프 비율을 계산할 때 사용한 평균과 표준 편차의 단위 기간이 있습니다. 1년(250거래일)이라고 명기되어 있습니다. 투자 기간이 길어지면 어떻게 될까요?

평균은 변하지 않습니다. 기간으로 나누어서 정규화하기 때문입니다. 1년에 10% 수익률을 얻는 것은 2년에 20%, 5년에 50% 수익률을 얻는 것과 동일합니다.

표준 편차는 다릅니다. 큰 수의 법칙 효과로 투자 기간이 길어지면 표준 편차가 줄어들기 때문입니다. 표준 편차가 줄어들면 위험도 함께 낮아집니다.

아래는 변동성이 낮은 주식(Stock LV)과 변동성이 높은 주식(Stock HV)을 투자 기간에 따라 평균-분산 그래프에 함께 나타낸 그림입니다.

저변동 또는 고변동 주식의 투자 기간과 투자 비중에 따른 평균 수익률

저변동 주식의 수익률 분포는 N(10%, 10%²)이고, 고변동 주식의 수익률 분포는 N(20%, 30%²)입니다. 저변동 주식에 비해 고변동 주식의 기대 수익률은 2배 높지만, 표준 편차는 3배 높습니다.

두 주식의 샤프 비율은 (10% - 4%) / 10% = 0.6, (20% - 4%) / 30% = 0.53입니다. 4%는 예금 수익률입니다. 저변동 주식의 샤프 비율이 조금 더 높아서 투자 효율이 더 높은 투자 상품이라 볼 수 있습니다. 

그래프에서 각 선분은 저변동 또는 고변동 주식에 예금을 혼합한 포트폴리오를 연결한 것입니다. 선분의 기울기가 샤프 비율이 됩니다. 그래프에서도 저변동 주식의 기울기가 저변동 주식보다 큽니다. 1년, 4년, 16년으로 투자 기간이 길어지면 표준 편차가 모두 줄어듭니다.

같은 기간 투자할 경우 저변동 주식의 기울기는 항상 고변동 주식보다 큽니다. 투자자가 10% 수익률을 목표로 한다면, 투자 기간에 관계없이 저변동 주식을 선택하는 것이 합리적으로 보입니다. 참고: 그래프에서 보는 바와 같이 샤프 비율은 고정된 값이 아닙니다. 투자 기간에 따라 샤프 비율을 나타내는 기울기가 변합니다.

하위 10%에 해당되는 위험도 함께 그려봅니다. 단기 투자와 장기 투자의 차이를 쉽게 파악할 수 있도록 1년과 16년 투자 결과만 표시했습니다.

저변동 또는 고변동 주식의 투자 기간과 투자 비중에 따른 평균 수익률과 하위 10% 수익률

세로로 그려진 일점쇄선은 [50%, 90%] 구간에 해당됩니다. 일점쇄선보다 낮은 수익률을 얻을 확률이 10%이고, 일점쇄선 구간의 수익률을 얻을 확률이 40%, 일점쇄선보다 높은 수익률을 얻을 확률은 50%입니다.

연 10% 수익률을 목표로 하는 투자자가 1년 또는 16년간 투자하려고 합니다. 샤프 비율을 비교해 보니, 더 나아 보이는 저변동 주식을 선택했다고 하겠습니다. 16년 뒤에 연 10% 이상의 수익률을 얻을 확률은 얼마일까요?

저변동 주식의 기대 수익률은 연 10%입니다. 따라서 16년 뒤 연 10% 이상의 수익률 다르게 말하면 누적 수익률로 160% 이상을 얻을 확률은 50%입니다. 연 10% 이하의 수익률을 얻을 확률도 50%입니다. 반반인 셈입니다.

고변동 주식에 16년간 투자했다고 하겠습니다. 16년간 투자한 고변동 주식의 하위 10%에 해당하는 일점쇄선의 아래 끝은 보면, 연 수익률이 10%가 넘습니다. 고변동 주식에 16년간 투자했다면, 연 10% 이상 수익률을 얻을 확률이 90%가 됩니다.

샤프 비율은 저변동 주식이 고변동 주식보다 높습니다. 하위 10%도 기울기를 보고 샤프 비율을 알 수 있습니다. 그래프에서 보듯 1년과 16년, 평균과 하위 10% 모두 저변동 주식의 기울기(점선의 기울기)가 더 큽니다.

샤프 비율을 투자 효율을 나타내는 지표라고 생각하지만, 장기 투자 시 투자할 자산의 선택할 때에는 유의해서 사용해야 합니다. 위험 정도가 정확하게 표현되지 않기 때문입니다.

아래는 16년을 투자한 경우와 64년을 투자한 경우를 비교한 그래프입니다. 비현실적이지만 비교의 편의를 위해 64년이라는 긴 기간을 선택했습니다.

저변동 또는 고변동 주식의 투자 기간과 투자 비중에 따른 평균 수익률과 하위 10% 수익률 (16년, 64년)

앞에서 본 바와 같이 16년 투자에서는 고변동 주식의 하위 10%는 저변동 주식의 평균(50%)보다 살짝 높습니다. 64년 투자에서는 아예 비교가 불가합니다. 확연한 차이가 납니다.

투자 기간이 길어질수록 저변동 주식의 연평균 수익률은 10%로 수렴하고, 고변동 주식의 연평균 수익률은 20%로 수렴하기 때문입니다.

정리하며

투자 기간과 투자 비중을 함께 고려하여 포트폴리오의 수익률 분포를 그래프로 나타내 보았습니다. 3차원 공간에 데이터를 나타내면 경향을 파악하는 것이 쉽지 않음을 알 수 있었습니다. 데이터의 경향을 파악하기에는 대개 2차원 그래프가 편리합니다.

투자 비중과 투자 기간 모두 포트폴리오의 기대 수익률과 불확실성을 변화시킵니다. 연평균 기대 수익률은 투자 비중에 영향을 받고, 불확실성은 투자 비중과 투자 기간 모두에게 영향을 받습니다.

샤프 비율은 평균 수익률에서 무위험 또는 벤치마크 수익률을 차감한 후 표준 편차로 나누어 계산합니다. 투자 효율을 측정하는 데 사용합니다. 수익률과 위험(불확실성)을 함께 고려해서 계산하니, 투자할 자산을 선택하는 합리적인 척도라고 생각할 수 있습니다.

하지만 샤프 비율은 말 그대로 투자 효율을 나타낼 뿐입니다. 참고는 할 수 있지만, 투자 목표를 달성하는데 얼마나 적절한지 설명하는 척도가 아닙니다. 1년으로 정규화한 데이터로 계산한 샤프 비율은 장기 투자로 줄어드는 위험이 충분히 고려되지 않으니 유의해서 사용해야 합니다. 

이어지는 글: 투자 성과 분석의 초급 - 13. 장기 투자에서의 위험의 변화를 쉽게 표현하고 비교하는 방법은 무엇일까?

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