투자 성과 분석의 초급 - 11. 투자 기간에 따른 기대 수익률과 불확실성의 변화를 평균-분산 그래프에 나타내 보자.

지난 글에서 자산의 수익률 분포를 정규 분포로 가정했을 때, 현금과 혼합한 포트폴리오의 특성을 평균-분산 그래프에 나타내 보았습니다. 현금 비중을 늘려 위험 자산의 비중을 낮출수록 기대 수익률도 낮아지지만, 위험이라 할 수 있는 불확실성도 함께 줄어듬을 좀 더 직관적으로 이해할 수 있었습니다. 지난 글: 투자 성과 분석의 초급 - 10. 기대 수익률과 불확실성을 함께 표현해 보자 (평균-분산 그래프)

투자 기간 역시 수익률 분포에 영향을 미칩니다. 정규 분포 모델이라면 투자 기간이 길어질수록 수익률과 표준 편차가 증가합니다. 하지만 큰 수의 법칙 효과에 의해 수익률에 비해 표준 편차는 더디게 증가합니다. 결과적으로 기간 대비 평균 수익률의 표준 편차는 줄어듭니다. 참고: 연평균 수익률이 기간 대비 평균 수익률입니다.

아래는 1년 수익률을 N(10%, 20%²)으로 모델링한 어떤 자산의 최대 20년간 투자 수익률의 분포입니다. 수익률 분포는 간결하게 10%, 50%(중앙값), 90% 분위수로 표시했습니다. 1년 평균 수익률은 10%이며, 1년 수익률의 표준 편차는 20%입니다. 출처: 투자 성과 분석의 초급 - 7. 정규 분포에서 표준 편차가 변하면 장기 투자에 어떤 현상이 발생할까?

N(10%, 20%²)의 기간에 따른 수익률 분포

왼쪽 그래프는 누적 수익률을, 오른쪽 그래프는 (기간 대비) 평균 수익률을 보여주고 있습니다. 오른쪽 그래프를 보면 큰 수의 법칙 효과로 평균 수익률의 분포가 점점 밀집됨을 알 수 있습니다. 참고: 설명과 이해의 편의를 위해 매년 동일한 금액을 투자하는 단리 투자를 가정합니다.

이 두 그래프는 3가지 변수가 있습니다. x축은 투자 기간이고,  y축은 수익률입니다. 그래프에서 [10%, 90%] 구간은 평균 대비 ±1.28 표준 편차 구간에 해당됩니다. 투자 기간이 길어지면 표준 편차가 평균 대비 줄어드는 것을 볼 수 있습니다.

이 두 그래프를 이전 글에서 살펴보면 평균-분산 그래프로 다시 그려보면 어떤 모양이 될까요?

주의: 이 글은 특정 상품 또는 특정 전략에 대한 추천의 의도가 없습니다. 이 글에서 제시하는 수치는 과거에 그랬다는 기록이지, 앞으로도 그럴 거라는 예상이 아닙니다. 분석 대상, 기간, 방법에 따라 전혀 다른 결과가 나올 수 있습니다. 데이터 수집, 가공, 해석 단계에서 의도하지 않은 오류가 있을 수 있습니다. 일부 설명은 편의상 현재형으로 기술하지만, 데이터 분석에 대한 설명은 모두 과거형으로 이해해야 합니다.

투자 기간에 따른 수익률 분포의 변화

자산의 수익률 분포를 N(10%, 20%²)으로 간주하면, k년 투자 시 누적 수익률 분포를 아래와 같이 계산할 수 있습니다. 출처: 투자 성과 분석의 초급 - 7. 정규 분포에서 표준 편차가 변하면 장기 투자에 어떤 현상이 발생할까?

ΣₖN(10%, 20%²) = N(k × 10%, k × 20%²)

누적 수익률과 표준 편차를 그래프로 그려보면 아래와 같습니다. 투자 기간이 길어지면 마커(marker)도 커지게 표시했습니다.

투자 기간에 따른 N(10%, 20%²)의 누적 수익률과 표준 편차

왼쪽 그래프를 보면 표준 편차가 증가하면 수익률이 기하급수적으로 증가하는 것처럼 보입니다. 단리 투자를 가정했기에 누적 수익률은 투자 기간에 선형 비례합니다. x축과 y축을 바꿔서 그려보면 오른쪽 그래프가 됩니다.

오른쪽 그래프의 x축은 누적 수익률이지만, 투자 기간으로 볼 수 있습니다. 10%가 1년에 해당됩니다. 표준 편차는 투자 기간의 제곱근에 비례해서 증가하고 있습니다.

누적 수익률이 아닌 평균 수익률 분포는 아래와 같이 계산할 수 있습니다. 앞의 식을 투자 기간 k로 나눈 것입니다. 출처: 투자 성과 분석의 초급 - 7. 정규 분포에서 표준 편차가 변하면 장기 투자에 어떤 현상이 발생할까?

N(k × 10%, k × 20%²) / k = N(10%, 1 / √k × 20%²)

평균 수익률과 표준 편차를 이용하여 그래프로 나타내면 다음과 같습니다.

평균 수익률과 표준편차

오른쪽 상단의 20%로 시작한 표준 편차는 4년째가 되면 절반인 10%로 줄어들고, 16년째가 되면 1 / 4인 5%로 줄어듭니다. 무한히 오랜 기간을 투자하면 표준 편차는 0%에 점차 가까워지겠지만, 한 명의 투자자가 투자 가능한 최대치에 가까운 64년간이면 1 / 8까지 줄어듭니다. 현실적인 한계치라 볼 수 있습니다.

장기 수익률의 표준 편차는 아래와 같이 줄어듭니다.

• 1년 단기 투자: 1
• 4년 중기 투자: 1 / 2
• 16년 장기 투자: 1 / 4
• 64년 초장기 투자: 1 / 8 

투자 기간에 따라 표준 편차가 어느 정도 감소하는지 알고 있는 것이 좋습니다. 특히 4년과 16년 정도는 현실적인 중장기 투자 기간입니다.

투자 성과 비교에서 많이 사용하는 지표(metric)는 대개 1년을 기준으로 환산해서 사용합니다. CAGR만 해도 1년 평균 복리 수익률입니다. 표준 편차도 1년을 기준으로 정규화(normalize)해서 사용하는 경우가 흔합니다.

다음 글에서 보다 자세히 설명하겠지만, 1년 기준으로 환산한 샤프 비율(Sharpe Ratio)과 같은 투자 효율 지표는 장기 투자를 고려하고 있다면 보정해서 생각해야 합니다. 10년 뒤 내 집 마련을 위해서 장기 투자하면서, 1년 기준으로 추정한 위험 정도나 투자 효율을 기준으로 판단하는 것은 적절하지 않습니다. 투자 기간이 길어지면 위험은 줄어드는 경향이 있기 때문입니다.

이전 글에서 소개한 위험 위주의 간략한 형태의 상자 수염 그림으로 그려보면 불확실성의 변화를 파악하기 용이합니다.

평균 수익률과 표준편차 (간략화한 상자 수염 그림 [75%, 95%])

그래프에서 수염은 [75%, 95%] 구간입니다. 3년을 투자하면 연평균 손실률이 -10% 이상일 확률이 5% 이하로 낮아집니다. 연평균 손실률이기에 누적 손실률은 -10% × 3년 = -30%입니다. 11년 정도 투자하면 원금 손실 가능성이 5% 이하로 낮아집니다.

정리하며

투자 기간이 길어지면, 자산의 수익률과 표준 편차(불확실성 또는 위험) 모두 증가합니다. 자산의 수익률 증가에 비해 표준 편차의 증가는 더딥니다. 누적 수익률은 투자 기간에 선형으로 증가하지만, 표준 편차는 투자 기간의 제급근에 비례해서 커지기 때문입니다.

이러한 특성으로 인해 기간 대비 평균 수익률로 보면 표준 편차가 점차 감소하여 기대 수익률로 수렴하는 큰 수의 법칙 현상이 나타납니다. 현실적인 중장기 투자 기간이라 할 수 있는 4년과 16년은 표준 편차를 각각 1 / 2과 1 / 4로 줄여줄 수 있습니다.

이어지는 글: 투자 성과 분석의 초급 - 12. 다시 보자! 샤프 비율 (투자 기간과 투자 비중에 따른 기대 수익률과 불확실성을 평균-분산 그래프에 나타내 보자)

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