[중급 1] 우연이란 무엇일까? 놀라움의 정도는 계산 가능한 것일까? (아프리카에서 샤샤먼씨를 만난 나신입씨)

투자 성과 분석의 기초편과 초급편에 이어 중급편에 이르렀습니다. 기초편과 초급편은 각각 장기 투자와 분산 투자를 중심으로 소개하였습니다. 과거 데이터를 이용하여 자산의 수익률을 살펴보고, 수익률을 정규 분포로 모델링하여 수학적(통계학적)으로 분석해 보았습니다. 통계학적으로 설명한다고 해서 어떤 원리가 먼저 있고, 그 원리가 현실에 나타난 거라 볼 수는 없습니다. 데이터를 관찰해 보니 아마도 이런 원리가 작동한다고 가정하면 어느 정도 설명이 가능한 것뿐입니다.

본업에 집중하면서 투자에 신경 쓰는 것을 최소화하고 싶은 투자자라면, 기초편과 초급편이면 충분합니다. 두 편의 연재는 "기대 수익률이 높으면서 변동성이 낮은 포트폴리오로 장기 투자하라"는 당연한 말을 길게 풀어놓은 것입니다.

기초편과 초급편은 주식 위주의 자산 배분 전략으로 장기 투자를 권하는 투자 입문서의 내용과 같습니다. 통계학적으로도 접근해 보았다는 점 정도에 차이가 있습니다. 어떻게 보면 이 이상의 투자 지식은 본업 집중에 방해가 될 수도 있습니다.

여기에서 조금 더 나가면 어떻게 될까요? 지금까지는 시장 평균 수익률에 대한 이야기였습니다. 장기 투자 시, 주식의 평균 수익률은 예금/채권의 평균 수익률보다 높았습니다. 그러니 주식에 장기 투자해야 합니다. 주식과 함께 주식을 보완할 수 있는 다른 자산에 분산 투자하면, 기대 수익률을 크게 낮추지 않으면서 위험은 꽤 많이 줄일 수도 있습니다. 그러니 분산 투자해야 합니다.

이 말은 지난 연재에서 수십번 등장했습니다. 구체적인 사례로도 설명하고, 통계학적으로도 그 이유를 설명했습니다. 양질의 투자 입문서에서도 거듭 강조하는 이야기입니다. 하지만 대개의 투자자는 수백번을 읽고 들어도 몸으로 체득하기 쉽지 않습니다. 인간은 욕심이 있고, 각자는 남보다 또는 적어도 평균보다는 잘할 수 있다고 생각하기 때문입니다.  

중급편은 경험상(또는 백테스트상) 시장 평균보다 더 높은 수익률 또는 더 낮은 변동성을 가진 투자 전략이니 더 좋다고 주장해도 되는지 살펴봅니다. 더 나아가 이 전략이 저 전략이 더 좋다고 말할 수 있는 확률론적 근거가 무엇인지 고민해 봅니다.

말로는 쉬워 보이지만, 사실 이 분야에는 명확한 답이 없습니다. 이 이야기가 첫 편의 주제입니다.

주의: 이 글은 특정 상품 또는 특정 전략에 대한 추천의 의도가 없습니다. 이 글에서 제시하는 수치는 과거에 그랬다는 기록이지, 앞으로도 그럴 거라는 예상이 아닙니다. 분석 대상, 기간, 방법에 따라 전혀 다른 결과가 나올 수 있습니다. 데이터 수집, 가공, 해석 단계에서 의도하지 않은 오류가 있을 수 있습니다. 일부 설명은 편의상 현재형으로 기술하지만, 데이터 분석에 대한 설명은 모두 과거형으로 이해해야 합니다.

귀인(貴人)을 만난 나신입씨

제일 유통의 신입 사원 나신입씨는 사수인 전대리씨와 아프리카로 출장을 왔습니다. 제일 유통은 성장하는 아프리카에서 몇 년 전부터 유통 사업을 시작했습니다. 사업 시작 초기부터 참여한 전대리씨(당시는 신입 사원)가 실무를 담당하고 있습니다. 부사수인 나신입씨도 앞으로 실무를 담당해야 하기에 올해부터 함께 출장을 갑니다.

현지 법인 임직원과 사업 진행에 대한 의견도 나누고, 협력 업체와 면담을 통해 개선할 점도 파악합니다. 매일매일 현지 실사와 미팅의 연속입니다. 며칠 강행군을 하고 나니, 체력이 좋은 나신입씨도 슬슬 피곤해지기 시작합니다. 드디어 기다리던 토요일이 되었습니다. 여기도 주 5일 근무이기에 토요일과 일요일에는 마음 편하게 쉴 수 있습니다.

토요일에는 간단한 시장 조사를 겸해서 시내 관광을 다녀올 계획입니다. 아침 식사를 든든히 하고 편한 복장으로 갈아입은 나신입씨는 전대리씨와 엘리베이터를 탔습니다. 3층에서 문이 열리더니, 선풍도골(仙風道骨) 느낌의 샤먼(shaman)이 엘리베이터를 탑니다.

• 샤샤먼: (나신입씨를 빤히 쳐다보더니) Leo utakuwa na bahati leo!
• 나신입: 전대리님. 저분 저에게 뭐라고 하신 건가요?
• 전대리: 스와힐리어인데, "오늘 당신에게 행운이 있을 겁니다!"라고 하네요. 
• 나신입: 그 말을 들으니 아침부터 기분이 좋네요. "감사합니다!"라고 전해 주시겠어요?
• 전대리: Asante sana!

아침부터 기분이 좋아진 나신입씨는 시내에서 이것저것 흥미로운 구경도 하고, 시장 조사겸 저렴하게 쇼핑도 하고, 현지 맛집에서 점심도 먹었습니다. 샤샤먼씨의 말처럼 오늘 운이 좋은 듯합니다.

카지노에 들린 나신입씨와 전대리씨

저녁까지 잘 챙겨 먹은 나신입씨와 전대리씨는 호텔로 돌아왔습니다. 이 호텔에는 카지노가 있는데 전대리씨 이야기로는 꽤 재미있고 무료 음료도 제공한다고 해서 함께 들렀습니다. 샤샤먼씨도 오늘 행운이 있을 거라 했으니까요. 참고: 이 평행 세계에서 도박은 불법이 아닙니다.

주의: 중급편에서는 도박(또는 내기) 이야기가 자주 등장합니다. 확률을 설명하고 이해하기에 도박이 편리하기 때문에 비유의 용도로 사용하는 것이지, 도박을 권하는 것이 절대 아닙니다.

슬롯머신도 당겨보고, 포커와 블랙잭도 해 봅니다. 초심자의 운인지 100달러를 시작한 나신입씨의 자금은 200달러로 불어났습니다. 돈도 늘어나고 무료 음료에다 재미까지 있으니 시간 가는 줄 모릅니다. 그때, 카지노 한 구석에서 "와~~~"하는 사람들의 함성 소리가 들립니다.

무슨 일이가 싶어 나신입씨와 전대리씨가 부리나케 가 봅니다. 룰렛을 하는 테이블이 모여있는 곳입니다. 사람들이 둘러싼 테이블을 보니, 아침에 엘리베이터에서 만난 선풍도골의 샤샤먼씨가 앉아 있습니다.

스와힐리어를 할 줄 아는 전대리씨가 어찌 된 영문인지 주변 사람에게 물어봅니다. 상황을 파악한 전대리씨가 나신입씨에게 알려줍니다.

• 전대리: 샤샤먼씨가 10판 연속으로 룰렛 게임을 이기고 있다고 하네요.
• 나신입: 룰렛이면 빨간색 또는 검은색 중에 하나를 맞히는 게임 아닌가요?
• 전대리: 네. 맞출 확률이 1 / 2인데, 10판 연속으로 맞추었으니 대단한 거죠.
• 나신입: (암산해 보더니) (1 / 2)¹⁰ = 1 / 1024 ≒ 0.1%네요.
• 나신입: 10판 연속 승리할 가능성은 0.1%에 불과하니, 저분에게 뭔가 특별한 능력이 있는 것이 분명합니다. 오늘 아침에 저에게 운이 좋을 거라고 한 예언도 들어맞았고요. 제가 지금 가지고 있는 돈 200달러를 저분이 거는 색상에 따라 걸어야겠어요.

나신입씨는 우연이라 보기 어려운 신기한 사건을 목격했습니다. 나신입씨가 샤샤먼씨의 배팅을 따라 하는 것은 합리적일까요? 여러분이 나신입씨 입장이라면 어떻게 할까요?

도박과 투자

이 문제는 투자 문제로 바꿔 볼 수 있습니다. 룰렛의 결과를 주식의 수익률이라 보면, 상승 확률이 50%, 하락 확률이 50%인 투자 문제가 됩니다. 각각의 투자 전략은 매회 어느 색상에 버느냐가 됩니다.

투자 전략은 매회 적중 여부에 따라 수익을 얻거나 손실이 발생합니다. 거치식이라면 장기적으로 수익과 손실이 상쇄되어 시장 수익률인 0% 수익률을 기대할 수 있습니다.

맞추었을 때 얻을 수 있는 수익률은 매회 1%라고 하겠습니다. 10판 모두 맞추면 총 10%의 수익률을 얻을 수 있습니다. 매회 모두 틀리면 총 -10%의 손실률을 얻게 됩니다.

이건 도박이지 어떻게 투자가 될 수 있냐고 생각할 수 있습니다. 아닙니다. 투자자의 전략은 빨간색에 계속 거는 거라 생각하면 됩니다.

투자자가 빨간색에 계속 거는 이유는, 룰렛에서 빨간색 칸이 전체의 2 / 3을 차지하고 있다고 믿기 때문일 수 있습니다.

빨간색 칸이 2 / 3이니, 10판 투자 시 투자자의 기대 수익률은 1% × 2 / 3 × 10판 - 1% × 1 / 3 × 10판 = 6.66% - 3.33% = 3.33%입니다. 이 투자자에게 빨간색 칸은 주가가 횡보(↝)하다, 급상승(↗)하는 종목일 수 있습니다.

빨간색 칸과 검은색 칸이 반반이지만, 빨간색 칸의 수익률은 2%이고, 검은색 칸은 -1%라고 믿고 있을 수도 있습니다.

10판 투자 시 투자자의 기대 수익률은 2% × 1 / 2 × 10판 - 1% × 1 / 2 × 10판 = 10% - 5% = 5%입니다. 이 투자자에게 빨간색 칸은 PER과 PBR 모두 동종 업계 평균 대비 20% 이상 낮아 하방 위험이 적은 종목일 수 있습니다.

투자자가 믿고 있는 룰렛판의 구조에 의한 차이이지 도박이냐 투자냐의 문제가 아닙니다. 확률 모델에서는 둘을 구분할 필요가 없습니다.

우연에 대한 모델링 (나신입씨)

특정 투자 전략이 시장 평균에 비해 우위에 있는지 확률적으로 추정하는 방법은 여러 가지가 있습니다. 그중에서 이해하기 쉬운 방법의 하나는 임의로 투자 전략을 만들었을 때, 해당 투자 전략이 보여준 수익률 이상을 거둘 확률이 얼마인지 추정하는 것입니다. 만일 그 확률이 크게 낮다면, 우연으로 치부하기 어렵다고 보는 관점입니다.

나신입씨가 직접 룰렛 게임에 참여한다고 하겠습니다. 샤샤먼씨의 눈에는 룰렛 게임에서 승리하는 원리가 훤히 보일지 몰라도, 나신입씨에게는 우연(랜덤)에 의해 결정되는 것으로 보입니다. 나신입씨의 승리 확률은 이항 분포(binomial distribution)로 모델링할 수 있습니다.

아래는 나신입씨가 10판 게임에 참여했을 때, 이기는 횟수에 따른 확률 분포입니다.

이긴 횟수	확률
0번	0.1%
1번	1.0%
2번	4.4%
3번	11.7%
4번	20.5%
5번	24.6%
6번	20.5%
7번	11.7%
8번	4.4%
9번	1.0%
10번	0.1%

나신입씨가 샤샤먼씨의 베팅에 따라 걸려는 이유는 이 확률 테이블이 있습니다. 본인은 0.1% 확률로 얻을 수 있는 결과를 샤샤먼씨가 얻었기 때문입니다.

샤샤먼씨의 능력은 어떻게 평가하면 될까요? 간단한 방법의 하나는 나신입씨 대비 순위입니다. 나신입씨가 분신을 만들어서 1,024명이 동시에 그리고 모두 다르게 10판 게임에 배팅한다고 하겠습니다.

나신입씨 분신 중에서 단 1명만이 샤샤먼씨처럼 10판 연속으로 승리할 것입니다. 그러니 샤샤먼씨의 능력은 1,024명 중에서 1등에 해당됩니다. 샤샤먼씨는 상위 0.1% 순위에 해당되는 성과를 보여준 것입니다.

나신입씨가 샤샤먼씨는 방금의 10판의 승리 이전에도 10판을 했었고, 그때는 반반의 확률로 이겼다는 사실을 알게 된다면 순위는 어떻게 변할까요?

샤샤먼씨의 실력이 변하지 않는다면, 합산으로 계산할 수 있습니다. 샤샤먼씨는 모두 20판을 했고 15판을 이긴 것입니다. 20판에서 15판 이상 이길 확률은 2.07%입니다. 샤샤먼씨는  상위 2.07% 순위에 해당되는 성과를 보여준 셈입니다. 샤샤먼씨의 룰렛 실력은 여전히 출중해 보입니다.

주변 사람에게 더 물어보니 샤샤먼씨는 거의 매일 카지노에 들린다고 합니다. 지난 4일간 매일 20판씩 했고, 역시 반반의 확률로 이겼다고 합니다. 20판 × 5일 = 100판의 게임에 참여했고, 지난 4일간은 40판 승리, 오늘 15판을 승리해서 총 55판을 승리한 것입니다. 샤샤먼씨의 순위는 이제 상위 15.87%로 내려갑니다.

나신입씨가 얼마나 많은 정보를 알고 있느냐에 따라 샤샤먼씨의 룰렛 실력에 대한 평가는 달라질 수 있습니다. 지난주에도 총 100판을 하고 그때의 승률은 45%(45판)였다고 알게 되면, 2주일간 총 200판 중에 100판을 이긴 셈이니, 샤샤먼씨의 순위는 상위 50% 즉 중간이 됩니다.

나신입씨는 두 가지 정보를 가지고 있습니다. 하나는 본인이 직접 게임을 할 경우의 확률 테이블입니다. 여기에는 승리 확률에 따른 순위가 표시되어 있습니다.

다른 하나는 샤샤먼씨의 승리 이력입니다. 샤샤먼씨의 승리 이력을 기반으로 확률 테이블에서 순위를 찾아보면 샤샤먼씨의 룰렛 능력이 어느 정도인지 추정해 볼 수 있습니다.

나신입씨가 얻은 과거 기록이 부족하면 최근 경험은 놀라운 사건으로 보일 수 있고, 과거 기록이 충분하면 이해하지 못할만큼 신비한 일이 아닐 수도 있습니다.

우연에 대한 모델링 (전대리)

나신입씨와는 달리 전대리씨는 처음부터 샤샤먼씨를 따라 배팅할 생각이 없었습니다. 샤샤먼씨의 과거 승리 이력을 알고 있었기 때문이 아닙니다.

전대리씨는 이번이 5번째 출장입니다. 신입 사원 때부터 매년 1회씩 꾸준히 출장을 왔습니다. 그때마다 카지노에 들렀습니다. 10회 연속으로 승리해서 주변이 떠들썩해진 것은 이번이 처음입니다. 이전 방문 시에도 10회 연속 승리가 있었다면, 지금처럼 사람들이 흥분에 휩싸였을 것입니다.

카지노에는 총 3개의 룰렛 테이블이 있습니다. 각 룰렛 테이블에는 한 번에 5명이 배팅을 합니다. 전대리씨가 카지노에 머무르는 시간 동안 각 테이블에서 29판의 게임이 벌어집니다. 전대리씨가 1회 방문으로 경험하는 10판 연속 게임의 수는 (29판  - 9판) × 3 테이블 × 5명 = 20판 × 3 테이블 × 5명 = 300회입니다.

10판 연속 게임 300회을 경험하는 동안 10판 연속 승리가 1번이라도 발생할 확률은 25.5%입니다. 전대리씨가 4번 출장을 오면 1번 정도는 경험할 수 있는 사건인 셈입니다. 그러니 전대리씨에게 이 사건이 신기하지 않습니다.

샤샤먼씨에게 10판 연속 승리라는 신기한 사건이 발생했고, 전대리씨는 샤샤먼씨의 과거 승리 이력도 모르는데, 왜 신기하지 않을까요? 샤샤먼씨가 아닌 누군가 1명이라도 10판 연속 승리를 했을 가능성이 25.5%이기 때문입니다.

하필이면 10판 연속 승리한 사람이 아침에 얼굴을 익힌 샤샤먼씨라는 것은 우연인 것입니다. 샤샤먼씨가 아닌 다른 사람이 10판 연속 승리했다고 해도, 사람들은 환호하고 있을 것이기 때문입니다.

정리하며

투자 성과 분석의 중급편을 시작하였습니다. 중급편은 투자 전략의 우위를 어떻게 비교할지가 주안점이 될 것입니다. 이 주제는 정답이 없습니다. 코에 걸면 코걸이, 귀에 걸면 귀걸이식 해석이 가능하기 때문입니다.

S&P 500 지수의 수익률을 시장 수익률이라 하겠습니다. 이리저리 투자 전략을 만들다 보면 어떤 이유로든 엔비디아(NVDA)를 편입할 수 있는 조건이 추가될 수 있습니다. 그 이유는 아무렇게나 무한에 가깝게 만들 수 있습니다.

• 인공지능 하드웨어 분야의 선두 업체이기에.
• 최근 1년간 신문 기사에 가장 많이 등장한 업체이기에.
• CEO가 대만계이기에.
• 코인을 채굴하는데 필요한 그래픽 카드를 제조하고, 그 카드는 프리미엄이 붙어서 거래되기에.
• 미국이 엔비디아 제품의 중국 수출을 제한하기에.
• 최근 5년 매출 성장률이 높기에.
• 최근 3년 영업 이익 성장률이 높기에.
• 최근 5년 매출 성장률이 높고, 최근 3년 영업 이익 성장률이 높기에.
• 최근 4.5년 매출 성장률이 높고, 최근 3.5년 영업 이익 성장률이 높기에.
• 최근 4년 매출 성정률이 높고, 최근 4년 영업 이익 성장률이 높기에.
• ...

엔비디아를 편입한 투자 전략의 수익률은 시장보다 높을 가능성이 있습니다. 만일 모두 시장보다 좋은 수익률이 나왔다면, 위의 모든 전략은 시장보다 좋은 투자 전략일까요?

시장과 투자 전략을 비교하는 방법의 하나는 수익률 변화 사이에어느 정도 통계적 거리가 있는지 살펴보는 것입니다. 하지만 위의 전략 모두 엔비디아 편입으로 시장보다 충분히 높은 수익률을 얻게 되면, 시장보다 좋은 투자 전략으로 판별될 가능성이 높습니다. 그중에서 나중에 알고 보니 정말 의미 있는 전략이 있을 수도 있지만, 현재로서는 구분하지 못할 수도 있습니다.

몇몇 전략은 통계적으로 검토할 수도 없습니다. 통계는 데이터를 필요로 합니다. 프리미엄이 붙어서 거래되는 상품을 만드는 회사라면, 매출과 이익 성장률이 높을 거라 기대할 수 있습니다. 괜찮은 투자 전략으로 보입니다.

우연인지 판단하기 위해서는 충분한 양의 과거 데이터를 구해야 합니다. 프리미엄이 붙어서 거래되던 상품을 만들었던 회사의 주가 상승률 데이터를 구해야, 그 가설이 어느 정도 맞는지 추정해 볼 수 있습니다. 하지만 이러한 데이터를 현실적으로 충분히 구할 수 없습니다. 좋은 투자 전략으로 보이더라도, 결국 투자자 본인의 믿음에 기반하여 투자 결정을 할 수밖에 없습니다.

중급편 연재는 괜히 시작한 것이 아닌가 하는 생각이 들기도 합니다. 막상 첫 편을 쓰고 보니, 앞으로 어떻게 전개해야 할지 막막합니다. 중급편은 상당히 띄엄띄엄 연재될 가능성이 높습니다.

전체적인 관점이 아닌 그나마 설명하기 쉬운 개별 세부 주제 위주로 접근할 가능성이 높습니다. 중간중간 통합해서 정리해보려고 하겠지만, 전체적으로 보면 구멍이 숭숭 뚫릴 수 있습니다.

목차: [연재글 목차] 투자 성과 분석 (기초편, 초급편): 순서대로 차근차근 읽으면 좀 더 이해가 쉽습니다.

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